[论文解读] An Inequality for Generalized Chromatic Graphs

Asen Bojilov, N. Nenov|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2011

Graph theory and applications参考文献 3被引用 3

一句话总结

本文利用顶点度的均方根（记为 d̄̄）建立了简单 n 顶点图 G 的广义色数 φ(G) 的新下界。证明了 φ(G) ≥ n / (n − d̄̄)，该结果改进了基于平均度的先前下界。当且仅当 G 为正则且完全 r 色图（r 整除 n）时取等。

ABSTRACT

Let $G$ be a simple $n$-vertex graph with degree sequence $d_1,d_2,...,d_n$ and vertex set $\V(G)$. The degree of $v\in\V(G)$ is denoted by $\D(v)$. The smallest integer $r$ for which $\V(G)$ has an $r$-partition $$ \V(G)=V_1\cup V_2\cup...\cup V_r,\quad V_i\cap V_j=\emptyset, \quad,i eq j $$ such that $\D(v)\leq n-\abs{V_i}$, $\forall v\in V_i$, $i=1,2,...,r$ is denoted by $\f(G)$. In this note we prove the inequality $$ \f(G)\geq\frac n{n-\bar{\bar{d}}}, $$ where $\bar{\bar{d}}=\sqrt{\dfrac{d_1^2+d_2^2+...+d_n^2}n}$.

研究动机与目标

• 建立广义色数 φ(G) 的更紧下界，φ(G) 是图不变量，表示将顶点集划分为 δ-集所需的最小 δ-集数量。
• 通过用均方根度 d̄̄ 代替平均度 d̄，改进基于平均度 d̄ 的现有下界 φ(G) ≥ n/(n − d̄)。
• 刻画新不等式中等号成立的条件，明确等号成立的充要条件。
• 为极值图论中已知不等式（特别是 Turán 定理与团数界）提供理论基础。

提出的方法

• 将 φ(G) 定义为最小的 r，使得 V(G) 可被划分为 r 个 δ-集，其中 δ-集 V 满足对所有 v ∈ V，有 d(v) ≤ n − |V|。
• 利用恒等式 d²(v₁) + ⋯ + d²(vₙ) ≤ Σᵢ₌₁ʳ nᵢ(n − nᵢ)²，将平方度之和用划分大小 nᵢ 表示。
• 应用 Maclaurin 不等式（对称平均不等式的一个特例），推导出划分大小的初等对称基本对称多项式 σ₂ 和 σ₃ 的上界。
• 将度数和的上界与对称平均不等式结合，推导出主不等式 φ(G) ≥ n / (n − d̄̄)，其中 d̄̄ = √(Σdᵢ² / n)。
• 通过证明等号仅在所有划分大小相等（nᵢ = n/r）且所有顶点度数为 (n(r−1))/r 时成立，从而确定等号成立的条件，表明图是正则且完全的。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用度分布的更精细度量，改进基于平均度的 φ(G) 下界？
• RQ2 依赖于度序列二阶矩的 φ(G) 的最紧可能下界是什么？
• RQ3 在新不等式 φ(G) ≥ n / (n − d̄̄) 中，等号在什么条件下成立？
• RQ4 该新下界与团数 cl(G) 及 Turán 型极值结果有何关联？
• RQ5 是否存在对实现新不等式等号的图的结构刻画？

主要发现

• 本文建立了不等式 φ(G) ≥ n / (n − d̄̄)，其中 d̄̄ 为顶点度的均方根，该结果严格优于基于平均度的先前下界。
• 当且仅当 n 可被 r = φ(G) 整除，且 G 为度数为 n(r−1)/r 的正则图（即完全 r 色图）时，不等式取等。
• 该下界是紧的，且当等号成立时，极值图被刻画为正则的完全 r 部图。
• 该结果强化了已知不等式 φ(G) ≤ cl(G)，表明 cl(G) ≥ n / (n − d̄̄)，并纠正了先前文献中一个错误的证明。
• 证明方法依赖于对 δ-集划分大小应用对称平均不等式（Maclaurin 不等式），将代数界与图不变量联系起来。
• 该方法为通过度序列矩研究广义色数提供了新的分析框架，拓展了经典极值图论。