[论文解读] An Inequality for Mixed Monge-Ampère measures

Sławomir Dinew|arXiv (Cornell University)|May 7, 2007

Geometry and complex manifolds参考文献 7被引用 5

一句话总结

本文建立了对奇异全纯次调和函数和任意正测度的混合Monge-Ampère不等式推广的精确条件——在极大数据集上消失。证明表明，若测度 $μ$ 在极大数据集上消失，则两个全纯次调和函数的混合Monge-Ampère积支配其相对于 $μ$ 的密度函数的几何平均，从而将经典不等式推广至光滑函数与Lebesgue测度之外的情形。该结果亦推广至具有可能不同Kähler形式的紧致Kähler流形。

ABSTRACT

We generalize an inequality for mixed Monge-Ampère measures. We also give an example that shows that our assumptions are sharp. The corresponding result in the setting of compact Kähler manifold is also discussed.

研究动机与目标

• 将经典混合Monge-Ampère不等式从光滑函数与Lebesgue测度推广至奇异全纯次调和函数与任意正测度。
• 确定在奇异设定下保证混合Monge-Ampère不等式成立的测度 $μ$ 的最小条件。
• 通过反例证明，极大数据集上消失的条件是精确的。
• 将结果推广至具有可能不同Kähler形式的紧致Kähler流形。

提出的方法

• 证明依赖于全纯次调和函数在局部用光滑函数逼近，并利用递减序列下Monge-Ampère测度的收敛性。
• 关键不等式通过正定矩阵上行列式的凹性与算术-几何平均不等式推导得出。
• 通过在 $ℂ^2$ 中构造分段线性函数的最大值构造反例，表明若测度不消失于极大数据集，则不等式不成立。
• 应用梯度像法通过面积公式计算Monge-Ampère质量，显示其在原点集中。
• 通过将问题约化至局部坐标图并应用 $ℂ^n$ 中的结果，将结果推广至紧致Kähler流形。
• 针对同一流形上不同的Kähler形式 $α$ 和 $β$，提供了一般化结果，表明在相同测度条件下，混合积不等式依然成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种测度 $μ$ 条件下，奇异全纯次调和函数的混合Monge-Ampère不等式成立？
• RQ2 测度 $μ$ 在极大数据集上消失的假设是否为不等式成立所必需？
• RQ3 经典混合Monge-Ampère不等式，最初仅对光滑函数与Lebesgue测度成立，能否推广至一般测度与奇异函数？
• RQ4 该不等式在紧致Kähler流形上是否依然成立？能否推广至不同Kähler形式？
• RQ5 极大数据集在复Monge-Ampère方程解的唯一性中起何精确作用？

主要发现

• 当且仅当 $μ$ 在所有极大数据集上消失时，不等式 $(\operatorname{dd^{c}}u)^k \wedge (\operatorname{dd^{c}}v)^{n-k} \geq f^{k/n}g^{(n-k)/n} d\mu$ 对全纯次调和函数 $u,v$ 和测度 $\mu$ 成立。
• 构造了一个反例，其中 $\mu$ 作用于一个极大数据集，表明不等式不成立，从而证明该条件是精确的。
• $u_k$ 和 $v_k$ 的总Monge-Ampère质量集中在原点，且等于 $(2\pi)^2 \frac{k}{2} \delta_0$，展示了奇异集中现象。
• 证明混合积 $\operatorname{dd^{c}}u_k \wedge \operatorname{dd^{c}}v_k$ 等于 $(2\pi)^2 \frac{1}{2k^2} \delta_0$，在极限下确认了几何平均行为。
• 在紧致Kähler流形上，不等式扩展为 $(\omega + \operatorname{dd^{c}}u)^k \wedge (\omega + \operatorname{dd^{c}}v)^{n-k} \geq f^{k/n}g^{(n-k)/n} d\mu$，在相同测度条件下成立。
• 该结果推广至不同Kähler形式 $\alpha$ 和 $\beta$，当 $\mu$ 在极大数据集上消失时，$(\alpha + \operatorname{dd^{c}}u)^k \wedge (\beta + \operatorname{dd^{c}}v)^{n-k} \geq f^{k/n}g^{(n-k)/n} d\mu$ 成立。