[论文解读] An infinite family of excluded minors for strong base-orderability

Joseph E. Bonin, Thomas J. Savitsky|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2015

Advanced Graph Theory Research参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文通过推广Ingleton的例子，构建了强基序序性（strong base-orderability）的无限排除极小元族，证明了他所识别的众多拟阵中有无穷多个是基序序性与gammoids的排除极小元。本文引入了k-基序序性（k-base-orderability）作为介于基序序性与强基序序性之间的层级结构，证明了k-基序序拟阵构成一个完备类，并表明所构造的拟阵为(k−1)-基序序但非k-基序序，从而确立了其在强基序序性中的排除极小元地位。

ABSTRACT

We discuss a conjecture of Ingleton on excluded minors for base-orderability, and, extending a result he stated, we prove that infinitely many of the matroids that he identified are excluded minors for base-orderability, as well as for the class of gammoids. We prove that a paving matroid is base-orderable if and only if it has no minor that is isomorphic to the cycle matroid of the complete graph on four vertices. For each k that is at least 2, we define the property of k-base-orderability, which lies strictly between base-orderability and strong base-orderability, and we show that k-base-orderable matroids form what Ingleton called a complete class. By generalizing an example of Ingleton, we construct a set of matroids, each of which is an excluded minor for k-base-orderability, but is (k-1)-base-orderable; the union of these sets, over all k, is an infinite set of base-orderable excluded minors for strong base-orderability.

研究动机与目标

• 通过构造此类极小元的无限族，解决Ingleton关于基序序性排除极小元的猜想。
• 定义并分析位于基序序性与强基序序性之间的k-基序序拟阵层级结构。
• 证明铺砌拟阵（paving matroids）是基序序的，当且仅当其不含M(K₄)-极小元。
• 表明所构造的拟阵Mβ同时是基序序性与gammoids类的排除极小元。
• 确立k-基序序拟阵类在Ingleton定义下为完备类。

提出的方法

• 通过推广Ingleton的例子，构造具有特定循环平坦集与圈超平面的拟阵族Mβ。
• 将k-基序序性定义为一种基交换性质，其中交换性对所有大小至多为k的子集成立。
• 利用对偶与单元素收缩，证明Mβ与Mβ*是k-基序序性与强基序序性的排除极小元。
• 利用Mason-Ingleton条件，证明Mβ的单元素收缩为可交换拟阵，因此是gammoids。
• 通过分析基与循环平坦集的结构，验证Mβ为(k−1)-基序序但非k-基序序。
• 确立所有k ≥ 2下这些排除极小元的并集构成强基序序性的无限排除极小元集。

实验结果

研究问题

• RQ1 Ingleton在其1975年的论文中所识别的拟阵中，是否无穷多个是基序序性与强基序序性的排除极小元？
• RQ2 能否定义一个k-基序序拟阵的层级结构，使得每一级均严格强于前一级，并构成一个完备类？
• RQ3 铺砌拟阵类是否为基序序的，当且仅当其不包含M(K₄)极小元？
• RQ4 所构造的拟阵Mβ是否为k-基序序性的排除极小元，同时保持为(k−1)-基序序？
• RQ5 Mβ的单元素删除是否仍为gammoids，或需采用不同的刻画方式？

主要发现

• 构造了一个强基序序性的无限排除极小元族，其中每个拟阵均为基序序但非强基序序。
• 对每个k ≥ 2，拟阵Mβ是k-基序序性的排除极小元，但为(k−1)-基序序，从而确立了严格层级结构。
• 证明了在Ingleton定义下，k-基序序拟阵类为完备类，对极小元、对偶、直和、截断及有向图诱导均封闭。
• 铺砌拟阵是基序序的，当且仅当其不含M(K₄)-极小元，为该类提供了完整刻画。
• 对偶拟阵Mβ*也是k-基序序性与强基序序性的排除极小元，且为(k−1)-基序序。
• 对给定的k，非同构拟阵Mβ的数量为：当k = 2h+1时为h²，当k = 2h时为(h−1)² + h，表明其数量依k的奇偶性有精确计数。