[论文解读] An infinite family of linear codes supporting 4-designs

Chunming Tang, Cunsheng Ding|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Coding theory and cryptography参考文献 20被引用 4

一句话总结

本文通过在 $\mathrm{GF}(2^{2m+1})$ 上构造长度为 $2^{2m+1}+1$ 的 BCH 码的无限族，解决了 71 年前的开放问题，该码支持参数为 $4$-$(2^{2m+1}+1, 6, 2^{2m}-4)$ 的无限族 $4$-设计。该构造利用初等对称多项式和循环码结构的性质，证明了这些码中最小重量码字的支撑集形成 $t$-设计，从而建立了首个已知的、支持 $4$-设计的线性码无限族。

ABSTRACT

The first linear code supporting a $4$-design was the $[11, 6, 5]$ ternary Golay code discovered in 1949 by Golay. In the past 71 years, sporadic linear codes holding $4$-designs or $5$-designs were discovered and many infinite families of linear codes supporting $3$-designs were constructed. However, the question as to whether there is an infinite family of linear codes holding an infinite family of $t$-designs for $t\geq 4$ remains open for 71 years. This paper settles this long-standing problem by presenting an infinite family of BCH codes of length $2^{2m+1}+1$ over $\mathrm{GF}(2^{2m+1})$ holding an infinite family of $4$-$(2^{2m+1}+1, 6, 2^{2m}-4)$ designs. Moreover, an infinite family of linear codes holding the spherical design $S(3, 5, 4^m+1)$ is presented.

研究动机与目标

• 为长期存在的开放问题提供解答：是否存在一个支持无限族 $t$-设计（$t \geq 4$）的线性码无限族。
• 在有限域上显式构造支持 $4$-设计的线性码，特别关注近似 MDS 码。
• 通过特定权重的码字，提供球面 $3$-设计 $S(3,5,4^m+1)$ 的编码理论构造。
• 证明 Assmus-Mattson 定理和自同构群方法在某些情况下不足以证明 $3$-设计的存在，凸显了对替代方法的需要。
• 探索支持 $t$-设计的线性码的结构特性，并确定此类设计由码字支撑集产生时的条件。

提出的方法

• 通过定义集方法，在 $\mathrm{GF}(q)$ 上构造长度为 $q+1 = 2^{2m+1}+1$ 的 BCH 码族 $\mathsf{C}_{(q,q+1,4,1)}$，其中 $q = 2^{2m+1}$。
• 利用有限域上初等对称多项式和迹函数的性质，分析码及其对偶码的重量分布。
• 应用 Assmus-Mattson 定理，确定码字固定重量支持 $t$-设计的条件，特别是针对 $t=3$ 和 $t=4$ 的情形。
• 通过码字支撑集形成的关联结构与已知组合设计（如 $S(3,5,4^m+1)$ 和 $4$-设计）之间的同构关系进行分析。
• 利用引理 31 和引理 34，证明 $\mathsf{C}_{(q,q+1,4,1)}$ 中最小重量码字的支撑集对应于形成 $3$-设计的 $5$-子集和 $6$-子集。
• 通过组合恒等式和二项式系数计算验证设计参数，包括使用公式 (40) 和推论 7 推导对偶码中 $3$-设计的 $\lambda$-值。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个线性码的无限族，支持 $t \geq 4$ 的无限族 $t$-设计？
• RQ2 编码理论构造能否通过有限域上线性码中固定权重的码字实现 $4$-设计？
• RQ3 球面 $3$-设计 $S(3,5,4^m+1)$ 是否可作为线性码的支撑设计实现？若可，通过何种码参数实现？
• RQ4 为何 Assmus-Mattson 定理和自同构群分析在某些情况下（如 $\mathsf{C}_{(q,q+1,4,1)}$）无法证明 $3$-设计的存在？
• RQ5 通过群作用构造的球面 $3$-设计 $S(3,5,4^m+1)$ 与通过线性码构造的 $S(3,5,4^m+1)$ 之间是否存在结构差异？

主要发现

• 本文在 $\mathrm{GF}(2^{2m+1})$ 上构造了长度为 $2^{2m+1}+1$ 的线性码无限族，支持 $4$-$(2^{2m+1}+1, 6, 2^{2m}-4)$ 设计，解决了 71 年前的开放问题。
• 在 $q = 2^{2m+1}$ 时，$\mathsf{C}_{(q,q+1,4,1)}$ 中最小重量码字的支撑集支持一个 $3$-$(2^m+1, 5, 1)$ 的斯坦纳系统 $S(3,5,2^m+1)$，当 $m \in \{2,3\}$ 时，该系统同构于球面设计 $S(3,5,4^m+1)$。
• 当 $m \geq 6$ 时，$\mathsf{C}_{(q,q+1,4,1)}$ 中权重为 $6$ 的码字支持一个 $3$-$(q+1,6,\frac{(q-4)(q-16)}{6})$ 设计，其中 $q = 2^m$。
• $\mathsf{C}_{(q,q+1,4,1)}^\perp$ 的对偶码支持一个 $3$-$(q+1, q-5, \lambda)$ 设计，其中 $\lambda = \frac{(q-4)^2}{120}\binom{q-5}{3}$，证实了对偶码中 $3$-设计的存在性。
• 当 $q = 2^4 = 16$ 时，示例显示一个 $[17,11,5]$ 码，其最小重量码字的支撑集支持一个 $S(3,5,17)$ 斯坦纳系统，其对偶码 $[17,6,11]$ 支持一个 $3$-$(17,11,198)$ 设计。
• 本文表明，Assmus-Mattson 定理在此情况下无法用于证明 $3$-设计的存在，揭示了经典设计理论工具在此类情境下的局限性。