[论文解读] An Infinite Family of Quadratic Quadrinomial APN Functions

Carl Bracken, Eimear Byrne+2 more|ArXiv.org|Jul 9, 2007

Coding theory and cryptography参考文献 9被引用 7

一句话总结

该论文在 $\mathbb{F}_{2^{3k}}$ 上构造了一个无限族二次四次多项式函数，其中 $\gcd(k,3) = 1$，通过分析相关微分映射的核，证明其为 APN（几乎完美非线性）。关键贡献在于提出了一类与已知单项式函数 CCZ 不等价的新 APN 函数，包括 $n=6$ 时的显式构造，其结果与 Dillon 列表中的三元多项式一致。

ABSTRACT

We present an infinite family of quadratic APN functions on a finite field of dimension over GF(2) divisible by 3.

研究动机与目标

• 在 $\mathbb{F}_{2^{3k}}$ 上构造一类新的无限族 APN 函数，其中 $\gcd(k,3) = 1$，扩展已知的单项式族范围。
• 通过分析微分映射 $F(x+q)+F(x)+F(q)$ 的核大小，证明这些函数为 APN。
• 针对 $n=6$ 的情形建立 CCZ 等价关系，表明这些函数与已知的幂映射不等价，但与 Dillon 列表中的三元多项式等价。
• 证明该新族与任何单项式函数均不 EA-等价，从而挑战了先前认为所有 APN 函数均 EA-等价于单项式函数的猜想。
• 提供使用本原元参数化函数的方法，并对 $\mathbb{F}_{2^{3k}}$ 中系数 $u,v,w$ 施加约束条件。

提出的方法

• 在 $\mathbb{F}_{2^{3k}}$ 上定义函数 $F(x) = u^{2^k}x^{2^{-k}+2^{k+s}} + ux^{2^s+1} + vx^{2^{-k}+1} + wu^{2^k+1}x^{2^{k+s}+2^s}$，并施加对 $s,k$ 及系数的约束。
• 通过证明方程 $F(x)+F(x+q)+F(q) = 0$ 的解不超过两个，利用关联的线性化多项式的核大小分析，证明其为 APN。
• 使用线性化多项式 $L_\theta(T) = T + \theta T^{2^k} + \theta^{2^k+1}T^{2^{-k}}$ 分析解，并证明其解位于 $\mathbb{F}_{2^k}$ 中。
• 通过代换和简化，引入 $a = u^{2^k-1}q^{2^{-k}+2^{k+s}-2^s-1}$，将系统简化为可解形式。
• 利用七次幂剩余的性质及 $u$ 的本原性，排除非平凡解，从而证明核大小至多为二。
• 对于 $n=6$，通过函数图像与校验矩阵之间的码等价性，验证其与 Dillon 列表中三元多项式的 CCZ 等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在 $\mathbb{F}_{2^{3k}}$ 上构造出一类新的无限族二次四次多项式 APN 函数，其中 $\gcd(k,3) = 1$？
• RQ2 这些函数是否与已知的单项式 APN 函数（如 Gold 或 Kasami-Welch）CCZ 等价？
• RQ3 参数 $s,k,u,v,w$ 需满足何种条件，才能保证函数 $F(x)$ 为 APN？
• RQ4 函数 $F(x)$ 的微分性质如何确保方程 $F(x)+F(x+q)=p$ 的解不超过两个？
• RQ5 对于 $n=6$，所构造的函数是否与 Dillon 计算搜索中列出的某些三元多项式等价？

主要发现

• 在 $\mathbb{F}_{2^{3k}}$ 上定义的函数 $F(x)$，当 $\gcd(k,3)=1$ 且 $s,k,u,v,w$ 满足适当约束时，已被证明为 APN。
• 对所有 $q \neq 0$，微分映射 $F(x+q)+F(x)+F(q)$ 的核大小至多为 2，从而确认其 APN 性质。
• 对于 $n=6$，所构造的函数与 Dillon 列表中的三元多项式（如 $x^3 + x^{10} + u x^{24}$）CCZ 等价，但与任何单项式函数均不等价。
• 该函数被证明与 Gold、Kasami-Welch 及其他已知单项式 APN 函数 CCZ 不等价，确认其构成一个新族。
• 证明的关键在于表明所有微分方程的解均位于 $\mathbb{F}_{2^k}$ 中，并利用 $u$ 的本原性及 $u^{2^k-1}$ 不是七次幂的性质，排除额外解。
• 该族包含在特定系数选择下退化为 $x^3$ 的情形，但一般情况下产生新的 CCZ 不等价 APN 函数。