[论文解读] An Information-Theoretic Approach to Quantum Theory, I: The Abstract Quantum Formalism

Philip Goyal|ArXiv.org|Feb 13, 2007

Quantum Mechanics and Applications参考文献 25被引用 4

一句话总结

本文提出了一种基于信息论不变性原理的有限维系统抽象量子形式体系的推导，表明量子力学的结构——包括正则对易关系和狄拉克的泊松括号规则——自然地从测量过程中信息获取的假设中产生。关键结果是：对态空间的均匀信息获取导致一个标准差为 $1/(2\sqrt{n})$ 的对称高斯后验分布，从而强制确立希尔伯特空间结构以及量子理论的非经典特征。

ABSTRACT

In this paper and a companion paper, we attempt to systematically investigate the possibility that the concept of information may enable a derivation of the quantum formalism from a set of physically comprehensible postulates. To do so, we formulate an abstract experimental set-up and a set of assumptions based on generalizations of experimental facts that can be reasonably taken to be representative of quantum phenomena, and on theoretical ideas and principles, and show that it is possible to deduce the quantum formalism. In particular, we show that it is possible to derive the abstract quantum formalism for finite-dimensional quantum systems and the formal relations, such as the canonical commutation relationships and Dirac's Poisson Bracket rule, that are needed to apply the abstract formalism to particular systems of interest. The concept of information, via an information-theoretic invariance principle, plays a key role in the derivation, and gives rise to some of the central structural features of the quantum formalism.

研究动机与目标

• 从物理上可理解的公理出发，推导有限维系统的抽象量子形式体系。
• 阐明信息在量子理论中的基础性作用，以替代或补充传统公理。
• 表明量子力学的结构——包括对易关系——可从信息论不变性中自然涌现。
• 为量子理论中复数和希尔伯特空间结构的选择提供物理解释。

提出的方法

• 构建一个涉及态制备和测量的抽象实验设置，结果由概率描述。
• 应用贝叶斯推断，从测量频率估计未知的态参数。
• 使用香农信息测度量化从 $n$ 次测量中获得的关于态的信息量。
• 施加一个不变性条件，要求信息获取独立于真实态，从而在态空间上导出均匀先验分布。
• 推导出态参数的后验分布为一个标准差为 $1/(2\sqrt{n})$ 的多变量高斯分布，且与测量基无关。
• 证明均匀信息获取的要求迫使态空间为单位超球面，从而导出希尔伯特空间形式体系。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否从信息论原则而非公理出发推导出抽象量子形式体系？
• RQ2 要求信息获取在真实态改变下保持不变，会引出哪些物理约束？
• RQ3 量子力学的结构——如希尔伯特空间和对易关系——如何从信息约束中涌现？
• RQ4 能否从信息论原则推导出量子理论中复数的选择？
• RQ5 在态空间上均匀先验分布在强制实现量子结构中起什么作用？

主要发现

• 当态空间上的先验分布为均匀分布时，信息获取达到最大值，从而产生一个标准差为 $1/(2\sqrt{n})$ 的对称高斯后验分布。
• 要求信息获取独立于真实态，迫使单位超球面正卦限上的先验分布为均匀分布，从而隐含对称且各向同性的结构。
• 当使用正交坐标时，态参数的后验分布变为方差为 $1/(4n)$ 的独立高斯分布的乘积。
• 信息获取在重参数化下保持不变，导致结论：态空间必须是单位超球面，从而强制确立希尔伯特空间结构。
• 推导过程自然导出正则对易关系和狄拉克的泊松括号规则，作为信息论不变性原理的推论。
• 该形式体系无需预先假设，自然导出复希尔伯特空间结构，通过证明仅复振幅能满足所需的不变性与信息约束。