[论文解读] An Input-Output Approach to Structured Stochastic Uncertainty in Continuous Time

Maurice Filo, Bassam Bamieh|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2018

Stability and Control of Uncertain Systems被引用 5

一句话总结

本文提出一种纯输入-输出方法，用于分析具有结构化乘法随机不确定性的连续时间线性时不变（LTI）系统中的均方稳定（MSS），避免使用状态空间实现。该方法引入随机框图，并通过矩阵算子的谱半径推导出MSS条件，适用于伊tō和斯拉托诺维奇解释，从而能够分析无限维系统和时滞系统。

ABSTRACT

We consider the continuous-time setting of linear time-invariant (LTI) systems in feedback with multiplicative stochastic uncertainties. The objective of the paper is to characterize the conditions of Mean-Square Stability (MSS) using a purely input-output approach, i.e. without having to resort to state space realizations. This has the advantage of encompassing a wider class of models (such as infinite dimensional systems and systems with delays). The input-output approach leads to uncovering new tools such as stochastic block diagrams that have an intimate connection with the more general Stochastic Integral Equations (SIE), rather than Stochastic Differential Equations (SDE). Various stochastic interpretations are considered, such as Itō and Stratonovich, and block diagram conversion schemes between different interpretations are devised. The MSS conditions are given in terms of the spectral radius of a matrix operator that takes different forms when different stochastic interpretations are considered.

研究动机与目标

• 在不依赖状态空间实现的前提下，建立具有结构化乘法随机不确定性的连续时间LTI系统的均方稳定（MSS）条件。
• 解决在连续时间设置下，当白噪声过程以乘法方式进入动力学时，其数学严谨性问题，特别是白噪声未被良好定义的情况。
• 通过避免状态空间表示，构建一个涵盖更广类系统（包括无限维系统和时滞系统）的分析框架。
• 通过框图转换方案和随机积分方程，统一伊tō与斯拉托诺维奇解释。
• 证明基于状态空间的MSS分析可作为所提出的输入-输出框架的特例被透明地恢复。

提出的方法

• 使用维纳过程微分（dw, dγ）表示系统，而非白噪声，以确保数学严谨性。
• 利用捕捉不同随机解释下乘法与加法扰动的随机框图表示反馈系统。
• 定义矩阵算子 ℒ_T，其谱半径决定稳定性，该算子由系统的脉冲响应和不确定性协方差结构导出。
• 在时间点 t_k = kT 处进行时间采样分析，通过算子 ℒ_T 的单调性推导输出协方差矩阵 U(t_k) 的递归界。
• 利用正半定矩阵和算子范数的性质，通过归纳法建立协方差增长的下界，结合谱半径分析。
• 通过随机积分方程变换构建伊tō与斯拉托诺维奇解释之间的转换方案，实现一致的框图表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不使用状态空间实现的前提下，表征具有结构化乘法随机不确定性的连续时间LTI系统中的均方稳定？
• RQ2 在连续时间中表示乘法白噪声的数学基础是什么？如何通过维纳过程使其数学上严谨？
• RQ3 不同的随机解释（伊tō与斯拉托诺维奇）如何影响稳定分析？需要何种框图变换以实现两者之间的切换？
• RQ4 矩阵算子 ℒ 的谱半径在决定均方稳定中的作用是什么？其随随机解释的变化如何？
• RQ5 基于状态空间的稳定分析能否作为该输入-输出框架中的特例被恢复？

主要发现

• 当且仅当矩阵算子 ℒ 的谱半径 ρ(ℒ) 严格小于1时，均方稳定得以保证，其中算子 ℒ 由系统的脉冲响应和不确定性结构定义。
• 当脉冲响应 M 的 H²-范数为无穷时，无论不确定性结构如何，输出协方差 U(t) 均无界增长，表明系统不稳定。
• 对于 H²-范数有限的系统，若 ρ(ℒ) ≥ 1，则输出协方差 U(t) 随时间无界增长；当 ρ(ℒ) > 1 时呈几何增长，当 ρ(ℒ) = 1 时增长可任意大。
• 在采样时间点 t_k = kT 处，U(t_k) 的界满足 U(t_k) ≥ ∑_{r=0}^k ℒ_T^r(Û)，其中 Û 为最坏情况下的初始协方差，表明算子作用下的累积增长。
• 当 ρ(ℒ) > 1 时，通过选择足够小的 ε，使有效增长因子 α > 1，可建立几何增长速率，导致指数发散。
• 当 ρ(ℒ) = 1 时，该界变为 U(t_k) ≥ (1/ε)Û，其中 ε 可任意小，证明协方差可无界增长，即使非几何增长。