[论文解读] An Integer Linear Programming Formulation for the Convex Dominating Set Problems

Jozef Kratica, Vladimir Filipović+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2019

Advanced Graph Theory Research参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文提出了凸支配集问题（CVXDSP）的两个整数线性规划（ILP）模型以及弱凸支配集问题（WCVXDSP）的一个ILP模型，通过证明ILP模型与原始组合优化问题之间的等价性，验证了其正确性。主要贡献在于构建了一个严格的ILP框架，使这些NP难图优化问题能够通过标准求解器实现精确求解。

ABSTRACT

Due to their importance in practice, dominating set problems in graphs have been greatly studied in past and different formulations of these problems are presented in literature. This paper's focus is on two problems: weakly convex dominating set problem (WCVXDSP) and convex dominating set problem (CVXDSP). It introduces two integer linear programming (ILP) formulation for CVXDSP and one ILP mode for WCVXDSP, as well as proof for equivalency between ILP models for CVXDSP. The proof of correctness for all introduced ILP formulations is provided by showing that optimal solution to the each ILP formulation is equal to the optimal solution of the original problem.

研究动机与目标

• 为凸支配集问题（CVXDSP）和弱凸支配集问题（WCVXDSP）开发精确的ILP公式。
• 建立所提出的ILP模型与原始组合优化问题之间的等价性。
• 证明每个ILP公式的最优解与对应图问题的最优解一致。
• 为使用标准优化求解器精确求解这些NP难问题提供基础。

提出的方法

• 使用二值变量表示顶点是否属于支配集，提出两种不同的ILP模型来表述CVXDSP。
• 引入约束条件，确保每个顶点都被支配，且所选顶点之间的所有最短路径均保留在集合内部。
• 采用基于距离的约束来强制实现弱凸性：对于集合中每对顶点，至少有一个位于最短路径上的邻接顶点也必须被包含。
• 通过数学归纳法和案例分析，证明ILP约束能够正确强制实现弱凸性与支配性。
• 通过证明任意可行的ILP解均对应一个有效的弱凸或凸支配集，建立ILP模型与原始问题之间的等价性。
• 通过证明最优ILP解能产生CVXDSP和WCVXDSP的最小基数支配集，验证了正确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 凸支配集问题能否通过整数线性规划被准确建模？
• RQ2 所提出的CVXDSP的两个ILP公式在最优解方面是否等价？
• RQ3 弱凸支配集问题能否被有效表述为ILP模型？
• RQ4 WCVXDSP的ILP公式是否能正确强制实现支配性和弱凸性？
• RQ5 ILP公式的最优解是否保证与原始图问题的最优解一致？

主要发现

• CVXDSP的两个ILP公式被证明是等价的，意味着它们产生相同的最优解。
• WCVXDSP的ILP模型正确强制实现了支配性和弱凸性，确保可行解对应于有效的弱凸支配集。
• 通过证明任意ILP可行解均对应一个具有所需凸性属性的有效支配集，建立了正确性证明。
• 每个ILP公式的最优解值被保证等于对应的图支配数（γ_cvx(G) 或 γ_wcvx(G)）。
• ILP模型在数学上是严谨的，可作为通过标准ILP求解器实现精确求解的基础。
• 本工作为未来在大规模实例上的实验评估和元启发式算法开发奠定了坚实基础。