[论文解读] An integral formula for the volume entropy with applications to rigidity

François Ledrappier, Xiaodong Wang|ArXiv.org|Nov 2, 2009

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 13被引用 8

一句话总结

该论文在无负曲率的正则黎曼覆盖上，利用广义Patterson-Sullivan测度在Busemann边界上建立了体积熵的一个新颖积分公式。它证明了一个刚性定理：对于Ricci曲率下界为$-(n-1)$的紧致流形，体积熵等于$n-1$当且仅当其万有覆盖是双曲空间，通过新的几何与测度论方法将已知结果推广至非负曲率情形。

ABSTRACT

We extend the theory of Patterson-Sullivan measure to any regular covering of a compact manifold using the Busemann compactification and derive an integral formula for the volume entropy. As applications we prove some rigidity theorems for the volume entropy.

研究动机与目标

• 将Patterson-Sullivan测度理论从非正曲率流形推广至一般正则黎曼覆盖。
• 在Busemann边界上，基于层化发散与梯度，建立体积熵的积分公式。
• 证明一个刚性结果：在$\mathrm{Ric} \geq -(n-1)$条件下，体积熵达到最大值$n-1$当且仅当万有覆盖是双曲空间。
• 将该刚性结果推广至具有曲率约束的Kähler与四元数Kähler流形。
• 为研究黎曼几何中熵不变量提供一种新的几何与分析框架，且无需假设负曲率。

提出的方法

• 通过Busemann紧化构造在层化空间$X_M = (\widetilde{M} \times \partial\widehat{M})/G$上定义$G$-不变的概率测度$\nu$。
• 推导涉及层化发散与梯度的积分公式：$\int \mathrm{div}^\mathcal{W} Y \, d\nu = v \int \langle Y, \nabla^\mathcal{W} \xi \rangle \, d\nu$。
• 利用Kähler与四元数Kähler几何中的体积增长与Laplacian比较定理来界定熵。
• 应用Bochner公式与曲率估计分析Busemann函数及其Hessian的性质。
• 通过使用支撑函数$u_s(x) = \xi(p) + d(x, \gamma(s)) - s$的极限论证，推导出$\xi_{i\overline{j}}$与$\xi_{ij}$的逐点估计。
• 利用超定方程组$\xi_{i\overline{j}} = \delta_{ij}$，$\xi_{ij} = -2\xi_i\xi_j$，得出其同构于复或四元数双曲空间的结论。

实验结果

研究问题

• RQ1 Patterson-Sullivan测度理论能否推广至无负曲率的黎曼流形？
• RQ2 是否存在一个关于体积熵的一般积分公式，使其与Busemann边界上的层化几何及发散性相关联？
• RQ3 在$\mathrm{Ric} \geq -(n-1)$条件下，体积熵满足$v = n-1$是否蕴含双曲性？
• RQ4 能否为具有曲率约束的Kähler与四元数Kähler流形建立类似的刚性结果？
• RQ5 当体积熵在曲率下界约束下达到其最大可能值时，会引出何种几何约束？

主要发现

• 本文构造了一个在层化空间$X_M = (\widetilde{M} \times \partial\widehat{M})/G$上$G$-不变的概率测度$\nu$，其满足涉及层化发散与梯度的积分公式。
• 对于满足$\mathrm{Ric} \geq -(n-1)$的紧致黎曼流形，体积熵满足$v \leq n-1$，且等号成立当且仅当万有覆盖同构于$\mathbb{H}^n$。
• 在Kähler情形下，若全纯截面曲率满足$K_\mathbb{C} \geq -2$，则$v \leq 2m$，且等号成立当且仅当$\widetilde{M}$同构于$\mathbb{CH}^m$。
• 在四元数Kähler情形下，当数量曲率为$-16m(m+2)$时，体积熵满足$v \leq 4m$，且等号成立当且仅当$\widetilde{M}$同构于$\mathbb{HH}^m$。
• 证明的关键在于：若一个Busemann函数$\xi$满足$\Delta \xi = 2m$，$|\nabla \xi| = 1$，且$\xi_{i\overline{j}} = \delta_{ij}$，$\xi_{ij} = -2\xi_i\xi_j$，则其必源于对称空间，从而推出同构于$\mathbb{CH}^m$或$\mathbb{HH}^m$。
• 该结果在Ricci曲率或曲率约束下建立了体积熵的强刚性，尽管$v$作为不变量弱于底谱$\lambda_0$