[论文解读] An integral method for solving nonlinear eigenvalue problems

Wolf‐Jürgen Beyn|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2010

Matrix Theory and Algorithms参考文献 42被引用 5

一句话总结

本文提出了一种轮廓积分方法，用于在复平面上给定的轮廓内计算非线性全纯特征值问题的所有特征值和特征向量。通过利用Keldysh定理并采用复化矩形公式近似轮廓积分，该方法将非线性问题转化为一个小规模的线性特征值问题，实现了关于求积节点数和特征值到轮廓距离的指数收敛速率。

ABSTRACT

We propose a numerical method for computing all eigenvalues (and the corresponding eigenvectors) of a nonlinear holomorphic eigenvalue problem that lie within a given contour in the complex plane. The method uses complex integrals of the resolvent operator, applied to at least $k$ column vectors, where $k$ is the number of eigenvalues inside the contour. The theorem of Keldysh is employed to show that the original nonlinear eigenvalue problem reduces to a linear eigenvalue problem of dimension $k$. No initial approximations of eigenvalues and eigenvectors are needed. The method is particularly suitable for moderately large eigenvalue problems where $k$ is much smaller than the matrix dimension. We also give an extension of the method to the case where $k$ is larger than the matrix dimension. The quadrature errors caused by the trapezoid sum are discussed for the case of analytic closed contours. Using well known techniques it is shown that the error decays exponentially with an exponent given by the product of the number of quadrature points and the minimal distance of the eigenvalues to the contour.

研究动机与目标

• 开发一种全局数值方法，用于计算指定轮廓内非线性全纯特征值问题的所有特征值和特征向量。
• 消除大多数迭代求解器所必需的初始特征值或特征向量近似。
• 将该方法扩展至特征值数量超过矩阵维数，或特征空间出现秩亏损的情况。
• 提供一种鲁棒的、全局收敛的方法，适用于中等规模问题，结合稀疏直接求解器。

提出的方法

• 该方法使用解析函数 $ T(z)^{-1} $ 的复轮廓积分，通过 $ N $ 个求积点的复化矩形公式进行计算。
• 构造矩Moment矩阵 $ A_p = \frac{1}{2\pi i} \int_\Gamma z^p T(z)^{-1} \hat{V} \, dz $，其中 $ p = 0,1 $，$ \hat{V} $ 为随机的 $ m \times k $ 矩阵。
• 积分近似为 $ A_{p,N} = \frac{1}{iN} \sum_{j=0}^{N-1} T(\varphi(t_j))^{-1} \hat{V} \varphi(t_j)^p \varphi'(t_j) $，从而将问题转化为求解 $ Nk $ 个线性系统。
• 通过矩Moment矩阵 $ B_{0,N} $ 的奇异值分解（SVD）识别不变子空间的维数 $ k $，并通过 $ D = V_0^H B_{1,N} W_0 \Sigma_0^{-1} $ 求解降阶后的特征值问题。
• 对于 $ k > m $ 的情形，通过计算至 $ p = 2\lceil k/m \rceil - 1 $ 的矩Moment实现扩展，从而能够处理秩亏损的特征空间。
• 该方法依赖于Keldysh定理，将预解式的奇点部分表示为广义特征向量及其对偶向量的组合。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一种全局的、无需导数的数值方法，可在不依赖初始近似的情况下计算轮廓内所有特征值和特征向量？
• RQ2 对于解析轮廓，随着求积节点数增加，求积误差如何衰减？
• RQ3 该方法能否扩展至特征值数量超过矩阵维数的情形？
• RQ4 如何正确捕捉非线性问题中常见的特征空间秩亏损？

主要发现

• 求积误差随 $ N $ 的增加呈指数衰减，衰减速率与求积节点数 $ N $ 及特征值到轮廓的最小距离的乘积成正比。
• 在数值实验中，仅需 $ N \approx 25 $ 个求积节点，该方法即可实现高精度，即使在特征值聚集或分离较远的问题中亦然。
• 在矩阵多项式秩亏损的算例中，该方法正确恢复了特征值 $ a = -0.2 $ 和 $ b = 1 $，且与预期一致地保留了三个非零奇异值。
• 在 $ \tau = 1 $ 的时滞系统算例中，该方法在以 $ -1 $ 为中心、半径为 6 的圆内计算出五个特征值，与Kressner方法在 $ N = 150 $ 时的结果一致。
• 残差 $ \|T(\lambda_j)v_j\| $ 随 $ N $ 快速衰减，表明即使在中等 $ N $ 下也具有高精度，$ N = 150 $ 时已达到足够精度。
• 扩展算法成功处理了 $ k > m $ 的情形，如时滞系统的特征方程，通过增加矩Moment的索引范围并采用基于SVD的秩检测方法。