[论文解读] An interface-unfitted finite element method for elliptic interface optimal control problem

Chao Yang, Tao Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|May 13, 2018

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 28被引用 5

一句话总结

该论文提出了一种新型的非拟合有限元方法，用于通过Nitsche方法结合富集切割有限元（CutFEM）求解椭圆型界面最优控制问题。在不同正则性假设下，该方法在状态、伴随和控制变量上均实现了 $L^2$ 范数和能量范数下的最优收敛率，且通过复杂界面的数值实验得到验证。

ABSTRACT

This paper develops and analyses numerical approximation for linear-quadratic optimal control problem governed by elliptic interface equations. We adopt variational discretization concept to discretize optimal control problem, and apply an interface-unfitted finite element method due to [A. Hansbo and P. Hansbo. An unfitted finite element method, based on Nitsche's method, for elliptic interface problems. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., 191(47-48): 5537-5552, 2002] to discretize corresponding state and adjoint equations, where piecewise cut basis functions around interface are enriched into standard conforming finite element space. Optimal error estimates in both $L^2$ norm and a mesh-dependent norm are derived for optimal state, co-state and control under different regularity assumptions. Numerical results verify the theoretical results.

研究动机与目标

• 解决具有不连续系数和复杂界面几何形状的椭圆型界面最优控制问题的挑战。
• 克服界面问题中因解的正则性较低而导致的网格生成困难与收敛率下降的问题。
• 开发一种鲁棒的数值格式，在不将计算网格拟合到界面的前提下保持最优收敛性。
• 在不同正则性条件下，为状态、伴随和控制变量建立严格的误差估计。
• 通过在多边形和五角星形界面等复杂界面上的数值实验验证理论结果。

提出的方法

• 对最优控制问题应用变分离散化，将控制逼近与状态和伴随方程解耦。
• 采用基于Nitsche方法的非拟合有限元方法对状态和伴随方程进行离散化。
• 在界面附近通过引入分段线性切割基函数，对标准有限元空间进行富集，以捕捉解的奇异性。
• 通过一种依赖于单元几何结构的稳定化参数 $\widetilde{C}$ 的Nitsche型格式引入稳定化。
• 利用Galerkin逼近与一致变分格式，构建状态、伴随和控制变量的离散格式。
• 采用依赖于网格的范数与 $L^2$-范数误差分析，在不同正则性假设下推导收敛率。

实验结果

研究问题

• RQ1 非拟合有限元方法是否能在解非光滑的情况下，实现椭圆型界面最优控制问题的最优收敛？
• RQ2 稳定化参数 $\widetilde{C}$ 的选择如何影响CutFEM近似方法的精度与稳定性？
• RQ3 当解的正则性有限（例如 $H^{3/2}$ 但非 $H^2$）时，状态、伴随和控制变量的误差估计可如何推导？
• RQ4 该方法在复杂界面几何形状（如五角星形界面）上的表现如何？
• RQ5 当界面以非对齐方式穿过单元时，该方法是否仍能保持最优收敛率？

主要发现

• 在 $H^{3/2}$ 正则性假设下，状态和伴随变量在 $L^2$-范数与能量范数下均实现了 $h^{3/2}$ 阶的最优收敛率。
• 控制变量在 $L^2(\Gamma)$-范数下表现出 $h^{1.7}$ 阶的收敛率，超过 $H^{3/2}$ 正则性下的理论边界 $h^{1.5}$。
• 在多边形界面的数值结果中，状态和共态变量在 $L^2$-范数下实现了二阶收敛，$256 \times 256$ 网格下 $\|y^* - y_h^*\|_{0} \approx 1.31 \times 10^{-4}$。
• 对于五角星界面，该方法能准确解析状态和共态场，其数值界面与精确界面几何形状一致。
• 当 $\widetilde{C} = 50$ 与 $\widetilde{C} = 1000$ 时，解的差异可忽略不计，表明对稳定化参数选择不敏感。
• 与以往方法相比，CutFEM方法在收敛阶方面表现更优，在所有测试误差范数下均实现了高于预期的收敛率。