[论文解读] An interior estimate for convex solutions and a rigidity theorem

MIng Li, Changyu Ren+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2015

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 5被引用 4

一句话总结

该论文为梯度依赖右侧项的 $k$-Hessian 方程的 $k+1$-凸解建立了内部 $C^2$ 估计，改进了以往估计中需依赖小指数 $\beta < 1$ 的限制。利用该估计，证明了一条刚性定理：在具有二次增长条件下，整个 $k+1$-凸解 $\mathrm{det}(D^2u) = 1$ 必为二次多项式，推广了已有结果，且无需假设严格凸性或强曲率条件。

ABSTRACT

We establish an interior $C^2$ estimate for $k+1$ convex solutions to Dirichlet problems of $k$-Hessian equations. We also use such estimate to obtain a rigidity theorem for $k+1$ convex entire solutions of $k$-Hessian equations in Euclidean space.

研究动机与目标

• 为右侧项依赖于 $\nabla u$ 的 $k$-Hessian 方程的 $k+1$-凸解建立内部 $C^2$ 估计。
• 通过在更强凸性条件下将估计中原本需要的 $\beta < 1$ 小指数去除，实现 $\beta = 1$，从而改进现有估计。
• 将改进后的估计应用于证明 $k$-Hessian 方程 $\sigma_k(D^2u) = 1$ 的整个解的刚性定理。
• 证明 $k+1$-凸整个解在具有二次增长时必为二次多项式，且无需假设严格凸性。
• 通过放宽曲率和增长假设，特别是避免依赖 Caffarelli 的估计，推广先前结果。

提出的方法

• 基于文献 [11] 的技术，推导出针对 $k+1$-凸解在 Garding 锥 $\Gamma_{k+1}$ 中的改进内部 $C^2$ 估计。
• 对量 $(-u)\Delta u$ 应用加权最大值原理，利用 $k+1$-凸性控制三阶导数。
• 通过缩放进行爆破论证：$v(y) = (u(Ry) - R^2)/R^2$，将整体问题转化为有界区域上的 Dirichlet 问题。
• 在子水平集 $\Omega_R'$ 上建立 $\Delta v$ 的一致有界性，从而在 $\{x : u(x) \leq R^2/2\}$ 上获得 $\Delta u$ 的一致 $L^\infty$ 有界性。
• 应用 Evans-Krylov 理论，得到 $D^2u$ 的 Hölder 估计，其在 $R \to \infty$ 时衰减，表明 $D^2u$ 在整体上有界。
• 结合 Hessian 范数的衰减性与方程 $\sigma_k(D^2u) = 1$，得出 $u$ 必为二次多项式。

实验结果

研究问题

• RQ1 当右侧项依赖于 $\nabla u$ 时，$k$-Hessian 方程的内部 $C^2$ 估计是否可在更强凸性条件下得到改进？
• RQ2 在 $k+1$-凸性下，估计 $(-u)^\beta \Delta u \leq C$ 中的指数 $\beta$ 是否可从 $\beta < 1$ 提升至 $\beta = 1$？
• RQ3 具有二次增长的 $\sigma_k(D^2u) = 1$ 的整个 $k+1$-凸解是否必为二次多项式？
• RQ4 能否在不假设严格凸性或不使用 Caffarelli 估计的条件下证明该刚性结果？
• RQ5 Garding 锥 $\Gamma_{k+1}$ 在实现更强估计与刚性性中起到何种作用？

主要发现

• 为 $k+1$-凸解的 $k$-Hessian 方程建立了内部 $C^2$ 估计：$(-u)\Delta u \leq C$，其中 $C$ 依赖于 $\sup |\nabla u|$、$\sup |u|$、$f$ 和 $\Omega$。
• 该估计改进了 Chou-Wang 的结果，去除了原先依赖的 $\varepsilon > 0$ 小指数，实现了在 $k+1$-凸性下的 $\beta = 1$。
• 对于 $\sigma_k(D^2u) = 1$ 的整个 $k+1$-凸解且具有二次增长，其 Hessian $D^2u$ 在整体上有界。
• 利用 Evans-Krylov 理论，$D^2u$ 的 $C^\alpha$ 范数在 $R \to \infty$ 时衰减，迫使 $D^2u$ 为常数。
• 因此，$u$ 必为二次多项式，从而在无需严格凸性或强曲率假设下证明了刚性定理。
• 该结果推广了 Bao、Chen、Guan 和 Ji 的先前工作，放宽了对严格凸性及 $u(x) \geq c|x|^2 - b$ 意义下二次增长的依赖。