[论文解读] An interior gradient estimate for the mean curvature equation of Killing graphs

Marcos Dajczer, Jorge H. de Lira+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2012

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用 6

一句话总结

本文将Korevaar与Simon关于欧几里得图的内部梯度估计推广至Killing图，从而实现了具有给定数据的平均曲率图的存在性与唯一性结果。本文证明了具有连续边界数据的Killing图的存在性，以及在双曲空间中具有渐近边界条件的径向图的存在性，推广了Dajczer、Hinojosa与Lira的前期工作。

ABSTRACT

We extend the interior gradient estimate due to N. Korevaar and L. Simon for solutions of the mean curvature equation from the case of Euclidean graphs to the general case of Killing graphs. Our main application is the proof of existence of Killing graphs with prescribed mean curvature function for continuous boundary data, thus extending a result due to Dajczer, Hinojosa and Lira. In addition, we prove the existence and uniqueness of radial graphs in hyperbolic space with prescribed mean curvature function and asymptotic boundary data at infinity.

研究动机与目标

• 将平均曲率方程的内部梯度估计从欧几里得图推广至Killing图。
• 建立具有预设连续边界数据的Killing图的存在性。
• 证明在双曲空间中给定平均曲率函数与无穷远处渐近边界数据的径向图的存在性与唯一性。
• 推广Dajczer、Hinojosa与Lira关于平均曲率图的前期结果。

提出的方法

• 将Korevaar与Simon的内部梯度估计技术适配至Killing图的几何设定。
• 利用Killing图的内在几何性质，即其为在具有Killing向量场的黎曼流形上的图。
• 应用最大值原理来控制Killing图上平均曲率方程解的梯度。
• 利用双曲空间的结构与径向对称性来分析渐近边界行为。
• 通过连续性方法构造下解与上解以建立存在性。
• 利用Killing向量场的存在性，将平均曲率方程约化为黎曼基流形上的几何型偏微分方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 平均曲率方程的内部梯度估计能否从欧几里得图推广至更一般的Killing图设定？
• RQ2 所推广的梯度估计是否意味着具有连续边界数据的Killing图的存在性？
• RQ3 能否在双曲空间中构造具有给定平均曲率与无穷远处渐近边界数据的径向图？
• RQ4 在双曲空间中，这些渐近条件下解是否唯一？

主要发现

• 成功地将内部梯度估计从欧几里得图推广至Killing图，为该更广泛几何背景下的平均曲率方程提供了关键分析工具。
• 通过推广的梯度估计与连续性方法，建立了具有预设连续边界数据的Killing图的存在性。
• 证明了在双曲空间中给定平均曲率函数与无穷远处渐近边界数据的径向图的存在性与唯一性。
• 结果推广了Dajczer、Hinojosa与Lira的前期工作，将他们的存在性定理扩展至Killing图的设定。