[论文解读] An interpretation of system F through bar recursion

Valentin Blot|arXiv (Cornell University)|Jun 20, 2017

Logic, programming, and type systems参考文献 12被引用 4

一句话总结

本文首次通过实现实现了从 System F 到一种带有巴递归的简单类型全函数语言的组合式翻译，利用可实现性提取每个 F 项的归约终止界限。通过利用这些界限进行原始递归，计算出归约范式，从而在多态类型与基于巴递归的计算之间建立起新的桥梁。

ABSTRACT

There are two possible computational interpretations of second-order arithmetic: Girard's system F or Spector's bar recursion and its variants. While the logic is the same, the programs obtained from these two interpretations have a fundamentally different computational behavior and their relationship is not well understood. We make a step towards a comparison by defining the first translation of system F into a simply-typed total language with a variant of bar recursion. This translation relies on a realizability interpretation of second-order arithmetic. Due to Godel's incompleteness theorem there is no proof of termination of system F within second-order arithmetic. However, for each individual term of system F there is a proof in second-order arithmetic that it terminates, with its realizability interpretation providing a bound on the number of reduction steps to reach a normal form. Using this bound, we compute the normal form through primitive recursion. Moreover, since the normalization proof of system F proceeds by induction on typing derivations, the translation is compositional. The flexibility of our method opens the possibility of getting a more direct translation that will provide an alternative approach to the study of polymorphism, namely through bar recursion.

研究动机与目标

• 建立 System F 与巴递归之间的正式联系，二者是二阶算术的两种不同计算解释。
• 解决尽管 System F 与巴递归在逻辑上等价，但其计算关系仍缺乏理解的问题。
• 开发一种从 System F 到带有巴递归的全函数语言的翻译，保留类型结构并支持归约。
• 通过可实现性提取单个项的有限终止界限，以克服哥德尔不完全性定理带来的限制。

提出的方法

• 使用二阶算术的可实现性解释，为每个 System F 项关联其归约至范式的步骤数界限。
• 利用这样一个事实：对于每个单独的 System F 项，二阶算术可证明其终止性，从而得出一个可计算的界限。
• 通过原始递归使用提取的终止界限，计算每个 System F 项的归约范式。
• 通过类型推导的归纳构造组合式翻译，确保结构保全。
• 在一种简单类型全函数语言中，采用巴递归的变体作为计算基础。
• 建立系统化、递归的翻译，将 System F 中的每个类型和项映射到巴递归框架中的对应项。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一个从 System F 到带有巴递归的全函数语言的组合式翻译，同时保留类型结构？
• RQ2 如何利用二阶算术的可实现性解释，为 System F 项提取归约步骤的有限界限？
• RQ3 在使用这些提取界限的前提下，原始递归在多大程度上能模拟 System F 项的归约？
• RQ4 在逻辑等价但计算行为不同的前提下，System F 与巴递归之间的计算关系是什么？
• RQ5 该翻译能否作为基于巴递归的新方法研究多态性的基础？

主要发现

• 本文成功构造了首个从 System F 到一种带有巴递归变体的简单类型全函数语言的组合式翻译。
• 对于 System F 中的每个单独项，可实现性解释均能给出其归约至范式所需步骤的有限界限。
• 利用这些界限，通过原始递归计算出每个项的归约范式，从而在目标语言中实现完全归约。
• 该翻译具有组合性，依赖于类型推导的归纳，确保了结构保真性与可扩展性。
• 该方法为通过巴递归研究多态性提供了新途径，为传统 System F 语义学提供了一种替代方案。
• 该方法通过聚焦于单个项的终止性而非全局一致性证明，绕过了哥德尔不完全性定理的限制。