[论文解读] An interpretation of Temam's stabilization term in the quasi-incompressible Navier-Stokes system

Giuseppe Tomassetti|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2019

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics被引用 8

一句话总结

本文将Temam的准不可压缩Navier-Stokes方程中的稳定化项 $\boldsymbol{f}_{\text{st}} = -\frac{1}{2}(\nabla \cdot \boldsymbol{v})\boldsymbol{v}$ 解释为惯性力的表现，基于Paolo Podio-Guidugli对惯性的表征。研究表明，该术语自然地源于动量方程中惯性效应的平衡，为一种数值稳定化项提供了物理解释。

ABSTRACT

Using a characterization of inertial forces proposed by Paolo Podio-Guidugli we provide an interpretation of the stabilization term $$\boldsymbol f_{st}=-\frac 1 2( abla\cdot\boldsymbol v)\boldsymbol v$$ in Roger Temam's quasi-incompressible approximation \begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} &\frac{\partial\boldsymbol v}{\partial t}+(\boldsymbol v\cdot abla)\boldsymbol v+ abla p-\mu\Delta\boldsymbol v=\boldsymbol f+\boldsymbol f_{ m st}, &\varepsilon\frac{\partial p}{\partial t}+ abla\cdot\boldsymbol v=0 \end{aligned} ight. \end{equation*} of the incompressible Navier-Stokes system, showing that this term is a manifestation of inertia.

研究动机与目标

• 为Temam的准不可压缩Navier-Stokes公式中的稳定化项 $\boldsymbol{f}_{\text{st}} = -\frac{1}{2}(\nabla \cdot \boldsymbol{v})\boldsymbol{v}$ 提供物理解释。
• 利用Paolo Podio-Guidugli对惯性力的表征，将数值稳定化项与惯性的基本物理机制联系起来。
• 阐明为何该特定形式的稳定化项在不可压缩Navier-Stokes方程的准不可压缩近似中自然出现。
• 证明该稳定化项并非纯粹的数值修正，而是弱不可压缩性条件下动量守恒的物理体现。

提出的方法

• 利用Paolo Podio-Guidugli在连续介质力学中对惯性力的几何与变分表征。
• 分析Temam的准不可压缩系统中的动量方程，特别关注速度散度在稳定化项中的作用。
• 在弱不可压缩性假设下，推导稳定化项 $\boldsymbol{f}_{\text{st}}$ 作为惯性贡献的结果。
• 通过对比含与不含稳定化项的动量方程结构，分离其物理起源。
• 对准不可压缩系统应用形式渐近分析，揭示稳定化项如何从惯性力与压用力的平衡中浮现。
• 确立项 $-\frac{1}{2}(\nabla \cdot \boldsymbol{v})\boldsymbol{v}$ 作为非零但微小散度引起的修正，与惯性动力学一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 Temam的准不可压缩Navier-Stokes系统中的稳定化项 $\boldsymbol{f}_{\text{st}} = -\frac{1}{2}(\nabla \cdot \boldsymbol{v})\boldsymbol{v}$ 如何与物理力相关联？
• RQ2 该稳定化项是否可被解释为源于惯性效应，而非纯粹的数值人工产物？
• RQ3 速度散度在动量方程中生成该稳定化项的过程中起什么作用？
• RQ4 Podio-Guidugli对惯性力的表征是否为理解该术语提供了自洽的框架？
• RQ5 为何该特定形式的稳定化项会在准不可压缩近似中出现？

主要发现

• 稳定化项 $\boldsymbol{f}_{\text{st}} = -\frac{1}{2}(\nabla \cdot \boldsymbol{v})\boldsymbol{v}$ 被解释为动量方程中惯性力的物理体现。
• 该术语自然地源于弱不可压缩性约束 $\varepsilon \frac{\partial p}{\partial t} + \nabla \cdot \boldsymbol{v} = 0$ 下的惯性效应平衡。
• 通过Podio-Guidugli的框架，该稳定化项被证明是由于非零但微小的速度散度引起的修正，与惯性动力学一致。
• 该术语并非数值人工产物，而是准不可压缩极限下惯性物理建模的后果。
• 该解释为稳定化项提供了更深层次的物理解释，增强了数值格式的物理一致性。