[论文解读] An Introduction into the Feynman Path Integral

Christian Grosche|ArXiv.org|Feb 20, 1993

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 82被引用 21

一句话总结

本文对量子力学中的费曼路径积分形式体系提供了全面的介绍，强调在黎曼空间中使用Weyl排序和乘积排序规则的表述。通过时空变换和变量分离方法，推导出谐振子、径向谐振子和库仑势等关键量子系统的路径积分，得到精确解以及基于保罗-范维克-莫雷特确定量的半经典近似。

ABSTRACT

In this lecture a short introduction is given into the theory of the Feynman path integral in quantum mechanics. The general formulation in Riemann spaces will be given based on the Weyl- ordering prescription, respectively product ordering prescription, in the quantum Hamiltonian. Also, the theory of space-time transformations and separation of variables will be outlined. As elementary examples I discuss the usual harmonic oscillator, the radial harmonic oscillator, and the Coulomb potential. Lecture given at the graduate college ''Quantenfeldtheorie und deren Anwendung in der Elementarteilchen- und Festkörperphysik'', Universität Leipzig, 16-26 November 1992.

研究动机与目标

• 为量子场论和数学物理领域的研究生及研究人员提供一个严谨且易于理解的费曼路径积分形式体系的导论。
• 通过Weyl排序和乘积排序规则建立在弯曲空间中路径积分形式体系的量子哈密顿量。
• 展示时空变换和变量分离在求解球对称势路径积分中的实用性。
• 推导出D维空间中谐振子、径向谐振子和库仑势的精确路径积分解。
• 将路径积分方法与半经典近似联系起来，特别是涉及保罗-范维克-莫雷特确定量的WKB形式。

提出的方法

• 使用时间离散化方法构建路径积分，通过Weyl排序和乘积排序规则确保正确的算符排序。
• 对量子哈密顿量应用Weyl排序规则，以保证路径积分中算符排序的幺正等价性和正确性。
• 采用时空变换，特别是Duru-Kleinert方法，将奇异势如库仑势映射为可解形式。
• 在球坐标和径向坐标中使用变量分离，将路径积分简化为一维问题。
• 利用经典作用量和保罗-范维克-莫雷特确定量，推导出传播子的半经典（WKB）近似。
• 应用泛函积分技巧和维纳测度类比，证明路径积分为所有路径的叠加，其相位权重为exp(iS/ħ)。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在具有弯曲度量的黎曼空间中一致地表述费曼路径积分？
• RQ2 算符排序——特别是Weyl排序和乘积排序——在确保正确量子力学路径积分中起什么作用？
• RQ3 如何利用时空变换求解库仑势等奇异势的路径积分？
• RQ4 D维空间中径向谐振子和氢原子的精确路径积分表示是什么？
• RQ5 传播子的半经典近似如何从路径积分中导出？保罗-范维克-莫雷特确定量的意义是什么？

主要发现

• 通过时间离散化和Weyl排序，精确推导出自由粒子和谐振子的路径积分，得到具有二次相位的标准传播子。
• 通过变换为具有修正势的一维问题，精确求解了径向谐振子的径向路径积分。
• 通过Duru-Kleinert变换，将D维空间中的库仑势映射为可解的谐振子类问题，从而获得精确解。
• 通过对1/r势应用时空变换，获得三维氢原子的精确路径积分解。
• 以WKB近似形式推导出半经典传播子，其前因子包含保罗-范维克-莫雷特确定量。
• 该方法证实，对于二次哈密顿量，路径积分是精确可解的，而高阶修正项则来自ħ的幂级数展开的半经典展开。