[论文解读] An Introduction to Adjoints and Output Error Estimation in Computational Fluid Dynamics

Steven M. Kast|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2017

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 9被引用 6

一句话总结

本文全面介绍了计算流体动力学（CFD）中伴随方法与输出误差估计，重点探讨其在基于输出的网格自适应中的应用。推导了离散与连续伴随公式，展示了其在估计输出误差和指导网格加密中的应用，并通过数值算例表明，当输出超收敛时，高阶误差估计可实现最优收敛率。

ABSTRACT

In recent years, the use of adjoint vectors in Computational Fluid Dynamics (CFD) has seen a dramatic rise. Their utility in numerous applications, including design optimization, data assimilation, and mesh adaptation has sparked the interest of both researchers and practitioners alike. In many of these fields, the concept of an adjoint is explained differently, with various notations and motivations employed. Further complicating matters is the existence of two seemingly different types of adjoints -- "continuous" and "discrete" -- as well as the more formal definition of adjoint operators employed in linear algebra and functional analysis. These issues can make the fundamental concept of an adjoint difficult to pin down. In these notes, we hope to clarify some of the ideas surrounding adjoint vectors and to provide a useful reference for both continuous and discrete adjoints alike. In particular, we focus on the use of adjoints within the context of output-based mesh adaptation, where the goal is to achieve accuracy in a particular quantity (or "output") of interest by performing targeted adaptation of the computational mesh. While this is our application of interest, the ideas discussed here apply directly to design optimization, data assimilation, and many other fields where adjoints are employed.

研究动机与目标

• 阐明CFD中离散与连续伴随的基本概念，解决因符号与公式表述不同而引起的混淆。
• 建立基于伴随解的输出误差估计的严格框架，实现对关注量的精确预测。
• 展示基于伴随的误差估计在指导网格自适应以提升CFD模拟精度方面的实用性。
• 对比离散与连续伴随方法，突出其一致性与收敛特性。
• 表明当输出超收敛时，高阶误差估计可实现最优收敛率，尤其在高阶方法中表现显著。

提出的方法

• 通过矩阵求逆推导离散伴随，表明仅需逆矩阵的单行即可计算特定输出。
• 通过变分法与弱形式引入连续伴随，实现对连续函数空间中PDE的伴随解。
• 应用对偶加权残差（DWR）方法，通过求解伴随方程并以输出泛函导出的权重，推导输出误差估计。
• 采用伽辽金方法，证明原始形式与对偶形式误差估计的等价性，确保一致性。
• 采用二阶与三阶误差估计对输出进行校正，并在不同超收敛情形下分析收敛率。
• 通过三维机翼与非定常机翼模拟验证该方法，展示基于伴随驱动误差指标的网格自适应效果。

实验结果

研究问题

• RQ1 离散与连续伴随公式的推导与一致性有何差异？在CFD中各自具有何种优势？
• RQ2 基于伴随的输出误差估计在何种条件下可实现最优收敛率？何时需要高阶估计？
• RQ3 基于伴随的误差估计能否有效指导网格自适应，以提升关注量的精度？
• RQ4 输出泛函的超收敛如何影响二阶与三阶误差估计的性能？
• RQ5 伴随一致性在高阶有限元方法中对确保可靠误差估计与网格自适应起到何种作用？

主要发现

• 当输出以 2p+1 的速率超收敛时，三阶误差估计实现最优收敛，而二阶估计收敛次优。
• 在标准收敛率（p+1）下，二阶与三阶误差估计的收敛速度均快于精细空间输出，因此校正后输出的收敛率与估计阶数无关。
• 基于伴随的网格自适应在三维机翼与非定常机翼上成功降低了目标输出（如升力与阻力）的误差，且使用更少的网格单元即实现显著误差减少。
• 离散伴随算子必须与原始离散系统保持一致，才能确保可靠的误差估计；不一致性将导致收敛次优。
• 对偶加权残差方法为输出误差估计提供了稳健框架，伽辽金方法中原始形式与对偶形式具有等价性。
• 在非定常问题中，伴随解能够捕捉对时间相关扰动的敏感性，从而实现对俯仰与沉浮机翼等瞬态流场的动态网格自适应。