[论文解读] An introduction to Bousfield localization

Tyler Lawson|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2020

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 16被引用 4

一句话总结

本文对同伦论中的Bousfield局部化提供了全面的介绍，阐明了其范畴论基础、通过小对象构造法的实现方式，以及在代数拓扑中的应用。研究证明，在温和条件下，Bousfield局部化保持张量结构，从而能够构建具有兼容张量运算的局部化∞-范畴。

ABSTRACT

In this article we discuss Bousfield localization, beginning with definitions in terms of mapping spaces and working up to a discussion of how they can be constructed when we have access to the small object argument. We also discuss Bousfield localization in the presence of multiplicative structure. Our goal is to place an emphasis on examples of various types. This is an expository article, written to be part of an upcoming book.

研究动机与目标

• 提供同伦论中Bousfield局部化的自包含导论，强调其在简化和组织代数拓扑中的作用。
• 解释如何利用小对象构造法在模型范畴和∞-范畴中构造局部化函子。
• 展示Bousfield局部化与张量结构的兼容性，特别是在配备有∞-运算符的∞-范畴中。
• 通过有理化、p-局部化和完备化说明局部化在分解空间与谱中的实用性，并展示如何从局部数据恢复全局信息。
• 阐明局部化函子的普遍性质，及其通过纤维化替换和普遍映射空间在简化同伦计算中的作用。

提出的方法

• 以范畴论局部化为基础，通过反转一类映射的普遍性质来定义局部化。
• 在模型范畴中应用小对象构造法，以确保左Bousfield局部化函子的存在性。
• 在以空间为系数的∞-范畴中工作，利用映射空间和同伦范畴来定义和分析局部对象。
• 借助Lurie的∞-运算符理论与∞-张量范畴理论，形式化局部化与张量结构的兼容性。
• 利用Quillen模型结构中纤维化替换的普遍性质，证明有理化与p-局部化可作为纤维化替换实现。
• 应用算术裂化正方形，通过同伦拉面对来重构空间，其基础为有理化与p-进局部化。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过小对象构造法在模型范畴和∞-范畴中系统地构造Bousfield局部化？
• RQ2 在何种条件下，Bousfield局部化在∞-范畴中保持张量结构？
• RQ3 局部化与积及圈空间的兼容性如何促成基空间上空间范畴中的纤维化局部化？
• RQ4 小对象构造法在同伦语境中如何确保局部化函子的存在性？
• RQ5 算术裂化技术如何实现从有理化与p-进局部化中重构全局同伦类型？

主要发现

• 在任意模型范畴中，可通过小对象构造法实现Bousfield局部化，从而确保存在普遍反转给定映射类的局部化函子。
• 当局部化在每个变量中保持$L$-等化时，Bousfield局部化中的局部对象子范畴自然继承一个∞-张量结构，如定理12.22所形式化。
• 对任意空间上的局部化$L$，有$ LX \times LY \simeq L(X \times Y) $，表明笛卡尔积与所有局部化函子兼容。
• 在群作用$E_n$-空间$B$上的空间范畴中，纤维化局部化与Day卷积张量结构兼容，使其成为$E_n$-张量函子。
• 算术裂化正方形允许将单连通空间$X$作为其有理化$X_{\mathbb{Q}}$与$p$-进完备化$X^\wedge_p$的同伦拉对来重构，展示了从局部数据恢复全局同伦类型的可行性。
• Quillen在空间上的模型结构中，弱等化为有理同调上的同构，将有理化实现为纤维化替换，凸显了局部化函子的普遍性。