[论文解读] An introduction to decomposition

Eric Sharpe|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2022

Black Holes and Theoretical Physics被引用 4

一句话总结

本文引入了具有 (d−1)-形式对称性的量子场论（QFT）中的分解，表明此类理论等价于若干较简单QFT（称为'宇宙'）的不相交并集。该框架通过多重宇宙干涉解释了诸如瞬子选择规则等物理现象，并适用于二维规范理论与轨道丛，通过Wang-Wen-Witten机制解决异常问题。

ABSTRACT

We review work on `decomposition,' a property of two-dimensional theories with 1-form symmetries and, more generally, d-dimensional theories with (d-1)-form symmetries. Decomposition is the observation that such quantum field theories are equivalent to (`decompose into') disjoint unions of other QFTs, known in this context as "universes." Examples include two-dimensional gauge theories and orbifolds with matter invariant under a subgroup of the gauge group. Decomposition explains and relates several physical properties of these theories -- for example, restrictions on allowed instantons arise as a "multiverse interference effect" between contributions from constituent universes. First worked out in 2006 as part of efforts to resolve technical questions in string propagation on stacks, decomposition has been the driver of a number of developments since. We give a general overview of decomposition, describe features of decomposition arising in gauge theories, then dive into specifics for orbifolds. We conclude with a discussion of the recent application to anomaly resolution of Wang-Wen-Witten in two-dimensional orbifolds. This is a contribution to the proceedings of the conference Two-dimensional supersymmetric theories and related topics (Matrix Institute, Australia, January 2022), giving an overview of a talk given there and elsewhere.

研究动机与目标

• 阐明具有 (d−1)-形式对称性的QFT中分解的概念，特别是二维理论中的情况。
• 通过引入分解作为解决方案，解决在堆栈与Gerbes上进行弦紧化时出现的物理不一致问题。
• 展示分解如何通过多重宇宙干涉效应解释允许瞬子的限制。
• 将分解应用于Wang-Wen-Witten机制在二维轨道丛中的异常消除。
• 通过强调宇宙之间不存在连续的场空间路径，区分分解与守恒量子数区。

提出的方法

• 使用相互对易的拓扑投影算符 $\Pi_i$，其满足 $\Pi_i\Pi_j = \delta_{ij}\Pi_j$ 且 $\sum_i \Pi_i = 1$，从而实现福克空间中宇宙本征态的同时对角化。
• 利用配分函数恒等式 $Z = \sum_i Z_i$，表明全理论中的关联函数是各组成宇宙中关联函数的和。
• 将该框架应用于具有非最小电荷的二维规范理论，表明其等价于最小电荷 $U(1)$ 理论的和。
• 分析规范群的子群作用平凡的轨道丛，导致其分解为子群作用的轨道丛。
• 应用Wang-Wen-Witten异常消除程序，其中轨道丛 $[X/\Gamma]_B$ 中 $B$-场的选择决定了消除哪种异常，而结果理论等价于非异常轨道丛的不相交并集。
• 构建量子对称性与对应可消除异常的表格，表明 $d_2(B)$ 将量子对称性映射到可被抵消的异常。

实验结果

研究问题

• RQ1 分解如何解释具有1-形式对称性的二维规范理论中瞬子的选择规则？
• RQ2 分解在何种方式下解决了在堆栈上进行弦紧化时出现的明显物理不一致？
• RQ3 具有平凡作用子群的轨道丛的分解与标准轨道丛在物理内容上如何不同？
• RQ4 在分解理论中应用Wang-Wen-Witten异常消除程序时，$B$-场起什么作用？
• RQ5 在宇宙之间场空间连通性方面，分解与自发对称性破缺及守恒量子数区有何区别？

主要发现

• 分解QFT的配分函数是其各组成宇宙配分函数之和：$Z = \sum_i Z_i$。
• 全理论中的关联函数可分解为 $\langle \mathcal{O}_1 \cdots \mathcal{O}_m \rangle = \sum_i \langle \tilde{\mathcal{O}}_1 \cdots \tilde{\mathcal{O}}_m \rangle_i$，其中 $\tilde{\mathcal{O}}_i$ 为投影到各宇宙的算符。
• 当 $\Gamma = \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_4$ 时，若选择 $B$ 使得 $d_2(B)$ 匹配异常，则得到物理理论如 $[X/\langle a \rangle]$ 或 $[X/\langle b \rangle]$，其为非异常理论，且等价于不相交并集。
• 当 $\Gamma = \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{H}$ 时，结果理论成为非异常轨道丛的 $\mathbb{Z}_2$-积，如 $\prod_2 [X/\langle b \rangle]$，具体取决于 $B(a)$ 与 $B(b)$。
• 表3的第一行对应无量子对称性，其余三行表明：通过选择使 $d_2(B)$ 映射到异常子群的 $B$，可实现异常消除。
• 该规律在不同群中均成立：当 $d_2(B)$ 描述异常时，结果 $[X/\Gamma]_B$ 等价于不包含异常子群的子群作用的轨道丛，从而确认了Wang-Wen-Witten机制。