[论文解读] An Introduction to Gaussian Process Models

Thomas Beckers|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2021

Gaussian Processes and Bayesian Inference参考文献 32被引用 24

一句话总结

本文全面介绍了用于动力系统回归的高斯过程模型，强调其贝叶斯基础、基于核的结构，以及通过预测方差量化不确定性的能力。文章介绍了关键的理论概念，包括核函数、超参数优化和模型选择，并展示了在控制与系统辨识中的应用。

ABSTRACT

Within the past two decades, Gaussian process regression has been increasingly used for modeling dynamical systems due to some beneficial properties such as the bias variance trade-off and the strong connection to Bayesian mathematics. As data-driven method, a Gaussian process is a powerful tool for nonlinear function regression without the need of much prior knowledge. In contrast to most of the other techniques, Gaussian Process modeling provides not only a mean prediction but also a measure for the model fidelity. In this article, we give an introduction to Gaussian processes and its usage in regression tasks of dynamical systems. Try Gaussian process regression yourself: https://gpr.tbeckers.com

研究动机与目标

• 提供高斯过程作为非参数贝叶斯函数回归方法的基础理解。
• 解释核函数在定义协方差结构以及对函数先验信念建模中的作用。
• 展示高斯过程回归如何通过预测均值和方差实现不确定性量化。
• 介绍模型选择技术，包括通过对数边际似然和交叉验证进行的超参数优化。
• 将框架扩展至多输出和动力系统建模，包括状态空间模型与非线性输出误差模型。

提出的方法

• 将高斯过程形式化为一个随机过程，其完全由连续索引集上的均值函数和协方差函数（核）定义。
• 应用贝叶斯定理，将先验GP与观测数据结合，得到用于预测的后验GP分布。
• 利用核技巧将输入映射到再生核希尔伯特空间，实现在无需显式特征变换的情况下处理非线性关系。
• 采用多变量正态分布的条件分布计算高斯过程回归中的预测均值和方差。
• 通过最大化对数边际似然和交叉验证来优化超参数，以在模型拟合与泛化能力之间取得平衡。
• 通过高斯过程状态空间模型和包含不确定性传播的非线性输出误差模型，将框架扩展至动力系统。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用高斯过程在不确定性量化的前提下对动力系统中的非线性函数进行建模？
• RQ2 哪些核函数的关键特性使其能够灵活建模复杂的输入-输出关系？
• RQ3 如何优化高斯过程模型的超参数，以在保持预测保真度的同时平衡偏差与方差？
• RQ4 再生核希尔伯特空间在理解高斯过程模型功能特性方面起什么作用？
• RQ5 如何将高斯过程模型扩展至具有状态空间表示的多输出和动力系统场景？

主要发现

• 高斯过程回归不仅提供均值预测，还提供完整的预测方差，从而实现严谨的不确定性量化。
• 核函数的选择显著影响所学习函数的平滑性和灵活性，常见选择包括平方指数核、马尔可夫核和有理二次核。
• 通过最大化对数边际似然进行超参数优化，为模型选择提供了一个合理的框架，可在拟合度与复杂度之间实现平衡。
• 给定观测数据的GP输出的条件分布服从多变量正态分布，使得后验均值和方差可进行精确的解析计算。
• 该框架支持多输出回归，并可通过状态空间模型和非线性输出误差模型的公式扩展至动力系统。
• 可通过鲁棒方法、场景方法或信息论方法处理模型误差，从而在不确定环境中提升可靠性。