[论文解读] An Introduction To Geometric Prequantization

J. R. Geraci|ArXiv.org|Nov 5, 2009

Mathematics and Applications参考文献 3被引用 4

一句话总结

本文提出几何预量化的严格数学框架，将量子力学嵌入经典力学的辛几何之中。通过在辛流形上构造一个主U(1)-丛，并配备一个曲率等于辛形式的联络1-形式，建立了从经典可观测量（光滑函数）到丛上向量场的单射李代数同态，从而实现泊松括号与对易子之间的对应关系，并将费曼路径积分的相位因子几何化为几何holonomy。

ABSTRACT

Classical mechanics has a natural mathematical setting in symplectic geometry and it may be asked if the same is true for quantum mechanics. More precisely, is it possible to capture certain quantum idiosyncrasies within the symplectic framework of classical mechanics? Beginning with Dirac, the idea of quantizing a classical system involved associating the phase space variables with Hermitian operators which act on some Hilbert space, as well as associating the Poisson bracket on the phase space with the commutator for the operators. Mathematically the phase space is associated with some symplectic manifold $M$ and the non-degenerate 2-form $ω$, which comes with $M$. Geometric prequantization is a process by which one does this in a mathematically "rigorous" manner and we shall attempt to just introduce the methods here. We do this by exploring this contruction for ($\mathbb{R}^{2n}, \sum_{i=1}^n dp_i \wedge dq_i$) which avoids using complex line bundles in any non-trivial way. One should note however that the Hilbert space one obtains is in fact too "big", in the sense that it has too many functions in order to correspond with actual physically significant Hilbert spaces. Geometric quantization remedies this situation but it should be noted that not all manifolds are prequantizable. We shall not discuss either of these issues however.

研究动机与目标

• 通过在辛流形上经典相空间的基础上引入几何结构，建立经典力学与量子力学之间数学上严谨的桥梁。
• 证明经典可观测量的泊松括号可通过预量化丛上向量场的对易子实现。
• 表明费曼路径积分中的相位因子自然地作为相空间上主U(1)-丛上联络的holonomy出现。
• 通过曲率等于辛形式的主丛上的联络1-形，提供正则对易关系的几何实现。

提出的方法

• 在辛流形 $ M $ 上构造一个主U(1)-丛 $ L $，配备一个联络1-形 $ \alpha $，使得 $ d\alpha = \omega $，其中 $ \omega $ 为辛形式。
• 为每个经典可观测量 $ f \in C^\infty(M) $ 定义其在 $ L $ 上的提升 $ V_f $，满足 $ \pi_* V_f = X_f $ 且 $ \alpha(V_f) = f $，以确保与辛结构的一致性。
• 利用达布定理将 $ (M, \omega) $ 局部等同于 $ (\mathbb{R}^{2n}, \sum dp_i \wedge dq_i) $，从而实现对提升向量场的显式计算。
• 推导 $ V_H $ 的积分曲线，表明 $ \theta $-分量满足 $ \theta(t) = -\int_{t_0}^t \Lambda(s) \, ds + \theta(t_0) $，其中 $ \Lambda $ 为拉格朗日量，从而重现费曼路径积分的相位因子。
• 证明映射 $ f \mapsto V_f $ 是李代数同态，因此泊松括号 $ \{f,g\} = \omega(X_f, X_g) $ 对应于对易子 $ [V_f, V_g] = -i V_{\{f,g\}} $，其相位因子由联络形式决定。
• 表明量子态的希尔伯特空间源于 $ L $ 的截面，但该空间过大，不适用于物理，因而需通过几何量化的进一步简化。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过纤维丛构造，几何地实现经典泊松括号与量子对易子之间的对应关系？
• RQ2 费曼路径积分的相位因子如何自然地从经典辛结构中出现？
• RQ3 主U(1)-丛上的联络1-形在将经典可观测量提升为量子算符的过程中起什么作用？
• RQ4 是否存在一种自然方式，将预量化丛上的向量场与基底辛流形上的哈密顿向量场关联起来？
• RQ5 为何通过预量化丛截面获得的希尔伯特空间对物理量子力学而言过大？还需何种额外结构？

主要发现

• 配备满足 $ d\alpha = \omega $ 的联络 $ \alpha $ 的预量化丛 $ L $，为经典相空间上的量子力学提供了几何实现。
• 丛 $ L $ 上的提升向量场 $ V_f $ 满足 $ \pi_* V_f = X_f $ 且 $ \alpha(V_f) = f $，确保经典与量子动力学之间的一致对应。
• 费曼路径积分中的相位因子被几何地解释为联络 $ \alpha $ 沿哈密顿向量场 $ X_H $ 流动的holonomy。
• 映射 $ f \mapsto V_f $ 是单射李代数同态，因此泊松括号 $ \{f,g\} $ 对应于对易子 $ [V_f, V_g] $，仅相差一个相位因子。
• 该构造无法产生物理上有用的希尔伯特空间，因为 $ L $ 的截面空间过大，必须通过几何量化进一步约化。
• 一般情况下纤维丛 $ L $ 并非唯一，但当基流形 $ M $ 是单连通时，其唯一性得以保证，从而实现规范的预量化。