[论文解读] An introduction to Lie groupoids

Antonio Kumpera|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 15被引用 7

一句话总结

本文引入李群胚、李代数胚和李伪群作为分析约当-霍尔德分解和积分偏微分方程的基础工具。它将经典李群理论扩展至群胚，强调延拓技术与局部平凡性，关键结果表明：线性李群胚的k阶延拓构成局部平凡子群胚，其关联的李代数胚由延拓微分算子生成。

ABSTRACT

We discuss the basic properties of Lie groupoids, Lie algebroids and Lie pseudo-groups in view of applying these techniques to the analysis of Jordan-Hölder resolutions and, subsequently, to the integration of partial differential equations. The present introduction is an extension to Lie groupoids, as far as possible, of the so well known properties and techniques much useful in Lie groups theory. We mention as far as possible since, in the case of Lie groupoids, just the first Lie Theorem holds. As for the prolongation algorithm, it is extremely useful when dealing with groupoids whereas rather senseless in the case of Lie groups.

研究动机与目标

• 将经典李群理论扩展至李群胚，以研究几何结构与微分方程。
• 建立一个利用李伪群及其群胚对应物分析约当-霍尔德分解的框架。
• 展示延拓技术在李群胚中的效用，这些技术在经典李群理论中无效。
• 将线性李群胚的k阶延拓表征为局部平凡子群胚，并通过李代数胚将其与微分算子关联。
• 通过李群胚的几何结构，为研究等价问题与PDE积分提供基础。

提出的方法

• 利用具有部分定义的复合与单位的群胚结构，推广李群理论。
• 应用局部平凡化概念，将李群胚表示为基空间与结构群H的乘积。
• 通过线性群胚GL(E)的k阶喷射延拓，构造GL(E)_k作为GL(J_k E)的子群胚。
• 通过无穷小作用推导关联的李代数胚，将其识别为由向量场的k阶延拓生成的O_M-线性子代数胚。
• 利用喷射延拓映射j_k δ定义喷射丛上的的一阶微分算子，将其与李代数胚的截面联系起来。
• 在群胚的喷射延拓与D(J_k E)中延拓算子的像之间建立李代数胚同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 李群胚理论如何将经典李群技术扩展至分析微分系统？
• RQ2 与李群相比，李群胚中的延拓起什么作用？为何在李群胚中更有效？
• RQ3 线性李群胚的k阶延拓如何与喷射丛的几何及微分算子相关联？
• RQ4 群胚的李代数胚以何种方式编码微分方程的无穷小对称性？
• RQ5 如何通过群胚框架系统地应用约当-霍尔德分解于李伪群？

主要发现

• 线性李群胚GL(E)的k阶延拓构成GL(J_k E)的局部平凡李子群胚，其结构群H ⊂ GL(m,R)。
• k阶延拓群胚的李代数胚同构于D(J_k E)中由向量场的k阶延拓生成的O_M-线性子代数胚。
• 延拓映射j_k δ定义了喷射丛上的一阶微分算子，满足j_k[δ,δ'] = [j_k δ, j_k δ']且σ(j_k δ) = θ ⊗ Id。
• 映射j_k Ξ ↦ j_k δ在群胚的喷射延拓与延拓算子的像之间给出李代数胚同构。
• 群胚Π_k M嵌入为GL(J_k TM)的李子群胚，其标准作用为j_k φ(x) · j_k θ(x) = j_k(φ_* θ)(y)。
• 平凡群胚M × M嵌入GL(J_k(M × R))，使得Π_k M实现为实值函数的k阶喷射群胚，其标准作用为j_k φ(x) · j_k f(x) = j_k(f ∘ φ^{-1})(y)。