[论文解读] An introduction to motivic integration

Alastair Craw|ArXiv.org|Nov 23, 1999

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 22被引用 75

一句话总结

本文为动机积分提供了基础介绍，证明了具有典范 Gorenstein 奇点的复射影代数簇的 Crepant 陈曲面的 Hodge 数不依赖于陈曲面的选择。通过配对 $(Y,D)$ 的动机积分，作者推导出编码 Hodge 数的弦 $E$-函数的公式，并利用弦 $E$-函数在不同 Crepant 陈曲面下的不变性，证明了 Kontsevich 的结果。

ABSTRACT

By associating a `motivic integral' to every complex projective variety X with at worst canonical, Gorenstein singularities, Kontsevich proved that, when there exists a crepant resolution of singularities Y of X, the Hodge numbers of Y do not depend upon the choice of the resolution. In this article we provide an elementary introduction to the theory of motivic integration, leading to a proof of the result described above. We calculate the motivic integral of several quotient singularities and discuss these calculations in the context of the cohomological McKay correspondence.

研究动机与目标

• 为代数几何与镜像对称领域的研究人员提供动机积分的可及性导论。
• 利用动机积分建立 Hodge 数在 Crepant 陈曲面下的不变性。
• 计算四维和六维 Gorenstein 末端循环商奇点的弦 $E$-函数。
• 将动机积分与上同调 McKay 对应及 Batyrev 对广义 McKay 对应的改进版本联系起来。
• 通过动机积分和 Chow 上同调类，证明在格罗滕迪克环中使用 Lefschetz 上同调类 $\mathbb{L}$ 的合理性。

提出的方法

• 定义复流形 $Y$ 上的形式弧空间 $J_\infty(Y)$，以参数化曲线的喷射。
• 为具有简单法向交叉的除子 $D$ 构造一个定义在 $J_\infty(Y)$ 上的函数 $F_D$。
• 在 $J_\infty(Y)$ 上引入一个取值于代数簇格罗滕迪克环的测度 $\mu$，其取值为 $\mathbb{L}$，即复直线的类。
• 推导动机积分的用户友好公式：$\int_{J_\infty(Y)} F_D d\mu = \sum_{J\subseteq\{1,\dots,r\}} [D_J^\circ] \cdot \left(\prod_{j\in J} \frac{\mathbb{L}-1}{\mathbb{L}^{a_j+1}-1}\right) \cdot \mathbb{L}^{-n}$。
• 将弦 $E$-函数 $E_{\mathrm{st}}(X)$ 定义为动机积分的 $E$-多项式版本，对奇点引入校正项。
• 通过格罗滕迪克环的完备化及到 Chow 上同调类格罗滕迪克环的映射，定义弦动机 $M_{\mathrm{st}}(X)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 一个具有典范 Gorenstein 奇点的代数簇的 Crepant 陈曲面的 Hodge 数是否依赖于陈曲面的选择？
• RQ2 如何利用动机积分定义一个编码 Crepant 陈曲面 Hodge 数的不变量？
• RQ3 对于无 Crepant 陈曲面的商奇点，弦 $E$-函数的结构是什么？
• RQ4 动机积分如何与上同调 McKay 对应及 $\mathrm{SL}(n,\mathbb{C})$ 的有限子群表示理论相关联？
• RQ5 在弧空间上的积分背景下，Lefschetz 上同调类 $\mathbb{L}$ 的动机解释是什么？

主要发现

• 具有简单法向交叉除子 $D$ 的配对 $(Y,D)$ 的动机积分为 $\sum_{J\subseteq\{1,\dots,r\}} [D_J^\circ] \cdot \left(\prod_{j\in J} \frac{\mathbb{L}-1}{\mathbb{L}^{a_j+1}-1}\right) \cdot \mathbb{L}^{-n}$，提供了一个具体的计算工具。
• 弦 $E$-函数 $E_{\mathrm{st}}(X)$ 不依赖于 Crepant 陈曲面的选择，证明了 Hodge 数是奇点代数簇 $X$ 的良好定义不变量。
• 对于 Crepant 陈曲面，弦 $E$-函数退化为陈曲面的普通 $E$-多项式，确认了 Hodge 数在不同 Crepant 陈曲面间保持不变。
• 本文计算了四维和六维 Gorenstein 末端循环商奇点的弦 $E$-函数，具体展示了理论的应用。
• 弦动机 $M_{\mathrm{st}}(X)$ 定义为 $\sum_{J\subseteq\{1,\dots,r\}} M(D_J^\circ) \cdot \left(\prod_{j\in J} \frac{\mathbb{L}-1}{\mathbb{L}^{a_j+1}-1}\right)$，其中 $M$ 映射到 Chow 上同调类的格罗滕迪克环。
• 该构造证明了在格罗滕迪克环中将 $\mathbb{L}$ 视为 $\mathbb{C}$ 的类是合理的，将动机积分与动机上同调及 Lefschetz 上同调类联系起来。