[论文解读] An introduction to PT-symmetric quantum mechanics -- time-dependent systems

Andreas Fring|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2022

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics被引用 4

一句话总结

本文提出了一套针对时间依赖的 ${\cal PT}$-对称量子系统的系统性框架，展示了如何通过时间依赖的Dyson映射和度量来保持幺正时间演化和实谱。研究发现，在自发破缺 ${\cal PT}$-对称的区域，冯 Neumann 熵不再完全衰减，而是趋于一个有限的渐近值——这为抑制量子系统的退相干提供了一种机制。

ABSTRACT

I will provide a pedagogical introduction to non-Hermitian quantum systems that are PT-symmetric, that is they are left invariant under a simultaneous parity transformation (P) and time-reversal (T). I will explain how generalised versions of this antilinear symmetry can be utilised to explain that these type of systems possess real eigenvalue spectra in parts of their parameter spaces and how to set up a consistent quantum mechanical framework for them that enables a unitary time-evolution. In the second part I will explain how to extend this framework to explicitly time-dependent Hamiltonian systems and report in particular on recent progress made in this context. I will explain how to construct the essential key quantity in this framework, the time-dependent Dyson map and metric and solutions to the time-dependent Schrödinger equation, in an algebraic fashion, using time-dependent Darboux transformations, utilising Lewis-Riesenfeld invariants, point transformations and some approximation methods. I comment on the ambiguities of this metric and demonstrate that this can even lead to infinite series of metric operators. I conclude with some applications to PT-symmetrically coupled oscillators, demonstrate the equivalence of the time-dependent double wells and unstable anharmonic oscillators and show how the unphysical PT$-symmetrically broken regions in the parameter space for the time-independent theory becomes physical in the explicitly time-dependent systems. I discuss how this leads to a prolongation of the otherwise rapidly decaying von Neumann entropy. The so-called sudden death of the entropy is stopped at a finite value.

研究动机与目标

• 建立显式时间依赖的 ${\cal PT}$-对称哈密顿量的一致量子力学框架。
• 通过构建明确定义的Dyson映射和度量，解决长期存在的关于时间依赖非厄米系统可行性的疑虑。
• 证明在时间依赖系统中，${\cal PT}$-对称性破缺相可成为物理上可实现的，从而实现对退相干的控制。
• 表明在开放系统中，冯 Neumann 熵可被延长并稳定在有限值，避免在破缺区域出现‘突然死亡’现象。

提出的方法

• 利用时间依赖的达布变换代数构造时间依赖的Dyson映射和度量。
• 利用Lewis-Riesenfeld不变量和点变换求解时间依赖的薛定谔方程，适用于 ${\cal PT}$-对称系统。
• 对精确解难以处理的复杂时间依赖哈密顿量，应用近似方法。
• 证明由于Dyson映射构造中固有的歧义性，存在无限多组度量算符。
• 通过幺正变换将时间依赖的双阱势和不稳定非谐振子映射为等价的 ${\cal PT}$-对称系统。
• 通过子系统上的部分迹计算冯 Neumann 熵，分析其在三种 ${\cal PT}$-对称区域中的时间演化。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为时间依赖的 ${\cal PT}$-对称哈密顿量构建一致的量子力学框架？
• RQ2 时间依赖的Dyson映射和度量在确保幺正时间演化和实谱方面发挥何种作用？
• RQ3 时间依赖系统中，${\cal PT}$-对称性破缺相是否可成为物理上相关的，若是，其机制为何？
• RQ4 在时间依赖的 ${\cal PT}$-对称系统中，冯 Neumann 熵的行为如何，特别是在破缺区域？
• RQ5 与标准耗散模型相比，时间依赖的 ${\cal PT}$-对称系统在抑制退相干方面能达到何种程度？

主要发现

• 通过时间依赖的达布变换和Lewis-Riesenfeld不变量，可系统地构造时间依赖的Dyson映射和度量，从而确保幺正演化。
• 在时间依赖系统中，${\cal PT}$-对称性破缺区域成为物理上可实现的，允许稳定且不衰减的动力学行为。
• 在破缺的 ${\cal PT}$-区域，冯 Neumann 熵不会趋于零，而是稳定在有限的渐近值，从而避免了‘突然死亡’现象。
• 对于与 $N$ 个玻色子浴耦合的玻色子，熵 $S_{H,a} = -\lambda_-\times\ln(\lambda_-) - \lambda_+\times\ln(\lambda_+)$ 通过 $\mu(t)$ 随时间演化，其中 $\lambda_\pm$ 通过 $\mu(t)$ 的三角函数定义。
• 熵的衰减在 ${\cal PT}$-对称区域最快，而在非简并点处逐步延迟，最终在破缺区域完全停止衰减。
• 该行为在各类模型中具有普适性，包括非厄米的Jaynes–Cummings模型，且与开放量子系统中的观测结果一致。