[论文解读] An Introduction to Quantum Error Correction and Fault-Tolerant Quantum Computation

Daniel Gottesman|ArXiv.org|Apr 16, 2009

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 153

一句话总结

本文介紹了量子誤差修正（QEC）與容錯量子計算，說明穩定子碼（特別是九量子位碼）如何保護量子態免受位元翻轉與相位翻轉錯誤的影響。本文建立閾值定理，證明只要物理錯誤率低於某一臨界閾值，即可實現可靠的量子計算，並透過嚴謹的界限與協定，使在有雜訊元件的情況下仍能進行容錯邏輯運算。

ABSTRACT

Quantum states are very delicate, so it is likely some sort of quantum error correction will be necessary to build reliable quantum computers. The theory of quantum error-correcting codes has some close ties to and some striking differences from the theory of classical error-correcting codes. Many quantum codes can be described in terms of the stabilizer of the codewords. The stabilizer is a finite Abelian group, and allows a straightforward characterization of the error-correcting properties of the code. The stabilizer formalism for quantum codes also illustrates the relationships to classical coding theory, particularly classical codes over GF(4), the finite field with four elements. To build a quantum computer which behaves correctly in the presence of errors, we also need a theory of fault-tolerant quantum computation, instructing us how to perform quantum gates on qubits which are encoded in a quantum error-correcting code. The threshold theorem states that it is possible to create a quantum computer to perform an arbitrary quantum computation provided the error rate per physical gate or time step is below some constant threshold value.

研究动机与目标

• 建立理論框架，以保護量子資訊免受量子電腦中退相干與雜訊的影響。
• 示範量子誤差修正碼（QECC）如何利用穩定子形式化方法，修正位元翻轉與相位翻轉錯誤。
• 發展容錯量子計算協定，使即使在物理閘門有缺陷的情況下，也能對編碼量子位進行邏輯運算。
• 證明量子閾值定理，顯示只要物理錯誤率低於某一常數閾值，即可實現可靠的量子計算。
• 分析在串接量子碼中，錯誤閾值、碼距與計算資源消耗之間的權衡。

提出的方法

• 使用穩定子形式化方法，將量子碼描述為由阿貝爾群的泡利算子所穩定的子空間。
• 應用九量子位碼，透過在串接結構中結合三量子位位元翻轉與相位翻轉修正，來修正任意單一量子位錯誤。
• 採用容錯閘具（如錯誤修正（EC）與邏輯閘實作），防止錯誤在多層編碼中傳播。
• 實施遞迴串接方案，其中邏輯運算透過編碼的輔助量子位與錯誤偵測電路來執行。
• 利用「惡性」錯誤集合的概念分析錯誤傳播，並限制其機率以確保容錯性。
• 透過限制多層串接後的總錯誤機率，推導出閾值條件，進而得出可靠運算可能的閾值。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可設計量子誤差修正，以保護疊加態免受位元翻轉與相位翻轉錯誤的影響？
• RQ2 當物理閘門具有雜訊時，如何實現容錯量子計算？
• RQ3 在何種物理錯誤率之下，仍可確保可靠的量子計算？
• RQ4 容錯量子計算的閾值如何依賴碼距與錯誤模型結構而變動？
• RQ5 是否可僅使用最近鄰互動與有限輔助量子位，構建容錯協定？

主要发现

• 九量子位碼透過在串接結構中結合三量子位位元翻轉與相位翻轉碼，成功修正任意單一量子位錯誤。
• 閾值定理證明，只要每個閘或時間步的物理錯誤率低於某一常數閾值，即可實現可靠的量子計算。
• 對於七量子位碼，經仔細錯誤計數後，得出閾值的下界為 $ p_T \geq 2.73 \times 10^{-5} $。
• 使用先進輔助量子位準備技術的模擬顯示，閾值可高達 5%，但嚴謹界限僅提供 $ 10^{-3} $ 的下界。
• 僅使用最近鄰互動與動態輔助量子位準備，即可設計容錯協定，進而支援可擴展架構。
• 閾值取決於錯誤模型；多量子位錯誤振幅的指數衰減是防止災難性失敗的必要條件。