[论文解读] An introduction to supermanifolds and supersymmetry

Frédéric Hélein|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2020

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 26被引用 8

一句话总结

本文采用代数几何启发的方法，以数学上严谨的方式介绍了超流形与超对称性，重点聚焦于通过光滑函数的超交换代数定义的骨架超流形。文章给出了三维、四维、六维和十维超闵可夫斯基空间的显式构造，并推导出四维N=4超对称庞加莱代数的李超代数结构，通过八元数结构识别出中心荷。

ABSTRACT

The aim of these notes (which were partially covered in lectures given at the Peyresq Summer School on 17--22 June, 2002) is to give an introduction to some mathematical aspects of supersymmetry. Some (hopefully) original point of view are added, by using and developing some results in arXiv:math-ph/0603045, where maps of supermanifolds are analyzed in details and, also, in the presentation of the super Minkowski spaces in dimensions 3, 4, 6 and 10.

研究动机与目标

• 通过解决对反对易坐标的心理抗拒，向数学家阐明超对称性。
• 通过F. Berezin的代数几何启发框架，系统地介绍超流形。
• 显式构造三维、四维、六维和十维的超闵可夫斯基空间。
• 分析四维N=4超对称庞加莱代数扩展的李超代数结构，识别中心荷。
• 阐明八元数乘法规则的惯例及其在构造超荷与中心荷中的作用。

提出的方法

• 通过光滑超函数环 $\mathcal{C}^\infty(\mathbb{R}^{m|k}) = \mathcal{C}^\infty(\mathbb{R}^m)[\theta^1,\dots,\theta^k]$ 定义骨架超流形，其中格拉斯曼生成元满足 $\theta^i\theta^j + \theta^j\theta^i = 0$。
• 使用贝雷津行列式形式化方法定义超流形上的积分与超行列式。
• 通过引入格拉斯曼值旋量坐标，扩展闵可夫斯基空间，构造三维、四维、六维和十维的超闵可夫斯基空间。
• 利用八元数乘法规则（通过法诺平面图）定义超荷与中心荷的复组合。
• 推导N=4超杨–米尔斯代数中超荷 $Q_{aA}$, $\overline{Q}_{\dot{a}A}$ 与中心荷 $Z_{AB}$, $\overline{Z}_{AB}$ 的分次反对易关系。
• 将十维超庞加莱代数 $\mathfrak{m}^{(1,9)|16}$ 嵌入复化版本，以定义复超荷，并将中心荷识别为 $Z_{AB}$ 的实部与虚部。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何使数学家不熟悉反对易坐标的情况下，使超流形的数学框架易于理解？
• RQ2 三维、四维、六维和十维的超闵可夫斯基空间的显式代数结构是什么？
• RQ3 八元数乘法规则如何决定N=4超对称庞加莱代数扩展中中心荷的结构？
• RQ4 超荷的复组合在实现N=4超杨–米尔斯代数中起什么作用？
• RQ5 N=4超杨–米尔斯理论中的中心荷如何从十维N=1理论的紧化中产生？

主要发现

• 本文通过格拉斯曼值旋量坐标构造了三维、四维、六维和十维的超闵可夫斯基空间，并识别出其底层的李超代数结构。
• 四维N=4超对称庞加莱代数扩展被实现为纯超庞加莱代数的中心扩张，其中六个中心荷源于 $Z_{AB}$ 生成元的实部与虚部。
• 中心荷 $Z_{AB}$ 显式地由八元数结构构造，满足 $Z_{AB} + Z_{BA} = 0$ 与 $\overline{Z}_{AB} = \overline{Z_{AB}}^{\sqrt{-1}}$，并与理论中的拓扑荷相关。
• 复超荷 $Q_{aA}$ 与 $\overline{Q}_{\dot{a}A}$ 定义为 $Q_{aA} = (Q^\alpha_a - \sqrt{-1}Q^\beta_a)/\sqrt{2}$，其中 $u_\alpha u_\beta = u_2$，以确保一致的分次反对易关系。
• 分次反对易关系 $[Q_{aA}, \overline{Q}_{\dot{b}B}] = -2X_{a\dot{b}}\delta_{AB}$ 与 $[Q_{aA}, Q_{bB}] = -2\epsilon_{ab}Z_{AB}$ 确认了N=4超杨–米尔斯代数的结构。
• 中心荷 $Z_{AB}$ 被解释为拓扑不变量，与赛伯格–威滕理论及蒙托嫩–奥利夫对偶性猜想一致。