[论文解读] An intuitionistic axiomatization of `eventually'

Martín Diéguez, David Fernández–Duque|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2018

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 26被引用 8

一句话总结

本文提出了直觉主义时态逻辑（ITL⁰ₑ）中'eventually'片段的完整且正确的公理化体系，通过非确定性拟模型证明了完备性。该文证明了该逻辑在展开偏序集上是完备的，方法是为表示时刻的有限标记树构造特征模拟公式，从而实现了该片段中有效性的语法决策程序。

ABSTRACT

Boudou and the authors have recently introduced the intuitionistic temporal logic $\sf ITL^e$ and shown it to be decidable. In this article we show that the `henceforth'-free fragment of this logic is complete for the class of non-deterministic quasimodels introduced by Fernández-Duque. From this and results of Boudou, Romero and the authors, we conclude that this fragment is also complete for the standard semantics of $\sf ITL^e$ over the class of expanding posets.

研究动机与目标

• 为排除'furthermore'模态词的直觉主义时态逻辑ITL⁰ₑ片段提供一个完整且语法化的公理化体系。
• 通过在展开偏序集上证明完备性，弥合直觉主义时态逻辑中语义有效性与语法可导出性之间的差距。
• 通过语法方法证明该逻辑是可判定的，补充了先前基于模型论的决策程序。
• 证明'furthermore'的缺失使得基于拟模型的完备性证明成为可能，而全逻辑中包含'furthermore'时则无法实现。

提出的方法

• 本文将时刻定义为有限标记树，其中每个节点代表一个具有公式集合的可能状态。
• 引入模拟公式Sim(w)，用于在模拟等价意义下唯一刻画每个时刻w。
• 构建一个证明系统，使用标准LTL风格的规则，包括一个处理'eventually'模态词的新规则——'lozenge-induction'规则（R4）。
• 通过反证法证明完备性：若公式φ不可证明，则从对逻辑闭包封闭的时刻集合构造出一个有限子模型（拟模型）来反证φ。
• 该构造依赖于'局部一致性'的概念，并使用有限公式集sub(φ)来构建一个关于转移关系闭包且满足ω-敏感性的拟模型J_sub(φ)。
• 通过验证向上闭包性与序列性、ω-敏感的转移关系，证明该拟模型是有效的（即真正的拟模型）。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为直觉主义时态逻辑ITL⁰ₑ的仅含'eventually'的片段提供一个完整、正确且语法化的公理化体系？
• RQ2 当限制在'eventually'模态词时，该逻辑ITL⁰ₑ在展开偏序集类上是否完备？
• RQ3 非确定性拟模型能否作为直觉主义时态逻辑中完备性证明的基础，特别是当不包含'furthermore'算符时？
• RQ4 是否存在独立于模型论方法的、用于该片段中有效性的语法决策程序？

主要发现

• 该逻辑ITL⁰ₑ在非确定性拟模型类上是完备的，通过为任意不可证明公式构造一个反例拟模型得以证明。
• 本文证明了语言ℒ_lozenge中任意不可证明公式φ，均可在有限sub(φ)-拟模型上被反例化，从而确立了完备性。
• 通过一系列等价关系链，建立了在展开偏序集上的完备性：拓扑有效性 ⇔ 在展开偏序集上的有效性 ⇔ 在有限拟模型上的有效性。
• 'lozenge-induction'规则（R4）对于捕捉'eventually'的语义至关重要，并确保了转移关系的ω-敏感性。
• 模拟公式Sim(w)在模拟等价意义下唯一刻画了每个时刻w，从而支持了可靠且完备的证明系统的构建。
• 该结果意味着ITL⁰ₑ中的语法可导出性可通过有限且构造性方法判定，补充了先前基于语义的决策程序。