[论文解读] An invariance principle for sums and record times of regularly varying stationary sequences

Bojan Basrak, Hrvoje Planinić+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2016

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 33被引用 36

一句话总结

本文通过引入基于空间 $E$ 中带装饰的 càdlàg 函数的新极限理论，为平稳、慢尾分布序列的和与记录时间建立了一种新颖的不变性原理，使得在经典 $D$-空间功能极限定理失效的情况下仍能实现收敛。该文证明了在一般依赖结构下部分和与运行最大值的弱收敛性，并表明在依赖限制下记录时间收敛到一个复合尺度不变泊松过程，通过一种新的点过程收敛框架保持了时间顺序。

ABSTRACT

We prove a sequence of limiting results about weakly dependent stationary and regularly varying stochastic processes in discrete time. After deducing the limiting distribution for individual clusters of extremes, we present a new type of point process convergence theorem. It is designed to preserve the entire information about the temporal ordering of observations which is typically lost in the limit after time scaling. By going beyond the existing asymptotic theory, we are able to prove a new functional limit theorem. Its assumptions are satisfied by a wide class of applied time series models, for which standard limiting theory in the space $D$ of \\cadlag\\ functions does not apply. To describe the limit of partial sums in this more general setting, we use the space~$E$ of so--called decorated \\cadlag\\ functions. We also study the running maximum of partial sums for which a corresponding functional theorem can be still expressed in the familiar setting of space $D$. We further apply our method to analyze record times in a sequence of dependent stationary observations, even when their marginal distribution is not necessarily regularly varying. Under certain restrictions on dependence among the observations, we show that the record times after scaling converge to a relatively simple compound scale invariant Poisson process.

研究动机与目标

• 在标准 $D$-空间收敛对依赖的慢尾分布平稳序列失效的情况下，发展部分和的功能极限定理。
• 通过在非局部紧空间上引入新的点过程收敛框架，保留时间缩放至 $[0,1]$ 时极端值的时间顺序。
• 在经典 $D([0,1])$ 空间中建立部分和运行最大值的功能极限定理。
• 分析依赖平稳序列中的记录时间，表明在依赖限制下其收敛到一个复合尺度不变泊松过程。
• 将经典点过程极限理论扩展至捕捉极值依赖中的聚类结构与时间顺序。

提出的方法

• 在非局部紧空间上引入新的点过程收敛框架，以在时间缩放至 $[0,1]$ 时保留观测的时间顺序。
• 基于非重叠的极值簇定义经验点过程，且簇大小随 $n$ 增大，以保持时间结构。
• 使用空间 $E([0,1])$ 中的带装饰 càdlàg 函数来描述部分和的极限，当 $J_1$ 拓扑失效时替代经典的 $D([0,1])$ 空间。
• 在 $[0,1] imes (0,rownig) imes ilde{l}_0$ 上构造一个泊松点过程，其强度为 $Leb imes d(- heta y^{- heta}) imes u_{oldsymbol{Q}}$，其中 $oldsymbol{Q}$ 是一个平稳的随机变量序列。
• 应用富比尼定理与控制收敛定理，推导出极限随机变量 $V(1)$ 的特征函数，涉及 $y^{-2}dy$ 和对数项的积分。
• 利用 Sato (1999) 的积分表示，推导出极限 Lévy 过程的特征指数，包含 $|z|$、$ ext{sgn}(z) ext{log}|z|$ 和线性漂移项。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在经典 $J_1$ 拓扑对依赖的慢尾分布序列失效的一般设定下，建立部分和的功能极限定理？
• RQ2 当时间缩放至 $[0,1]$ 时，如何在极限中保留极端值的时间顺序？
• RQ3 具有广义连续边缘分布的平稳依赖序列中，记录时间的极限分布是什么？
• RQ4 在何种依赖条件下，记录时间过程收敛到一个复合尺度不变泊松过程？
• RQ5 部分和的极限能否在 $D([0,1])$ 之外的空间中描述？此类空间的结构如何？

主要发现

• 部分和 $S_{lor nt floor}$ 弱收敛于空间 $E([0,1])$ 中的带装饰 càdlàg 函数过程，该过程捕捉了极值的聚类结构与时间顺序。
• 由于单调性，运行最大值的极限仍位于经典的 $D([0,1])$ 空间中，从而允许标准功能极限定理的表述。
• 经缩放后的记录时间在分布上收敛于一个复合尺度不变泊松过程，反映了依赖序列中记录的聚类现象。
• 极限 $V(1)$ 的特征函数为 $ ext{log}{E}[e^{izV(1)}] = -rac{ heta au}{2}|z|ig(1 + irac{2}{ heta} ext{sgn}(z) ext{log}|z|ig) + iaz $，其中 $ au = {E}[|S|] $，$ a $ 涉及 $ ext{log}|Q_j| $ 和 $ ext{log}|S| $ 的期望。
• 记录时间的极限过程比完整和过程更简单，其复合结构源于记录发生中的簇形成。
• 该方法适用于广泛的时间序列模型（如 $m$-依赖线性过程），在这些模型中标准 $J_1$ 收敛不成立，表明其应用范围广于现有理论。