[论文解读] An invariance principle for weakly dependent stationary general models

Paul Doukhan, Olivier Wintenberger|ArXiv.org|Mar 9, 2006

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 27被引用 38

一句话总结

本文在一般非因果模型下，针对弱依赖的平稳过程建立了弱不变性原理，扩展了先前结果，放宽了矩和依赖性假设。引入了一种新的λ-弱依赖条件，适用于依赖输入的非线性泛函，使得在四阶矩以上且依赖系数衰减更快的条件下，能够收敛到布朗运动，并给出了中心极限定理中的显式收敛速率。

ABSTRACT

The aim of this article is to refine a weak invariance principle for stationary sequences given by Doukhan & Louhichi (1999). Since our conditions are not causal our assumptions need to be stronger than the mixing and causal $θ$-weak dependence assumptions used in Dedecker & Doukhan (2003). Here, if moments of order $>2$ exist, a weak invariance principle and convergence rates in the CLT are obtained; Doukhan & Louhichi (1999) assumed the existence of moments with order $>4$. Besides the previously used $η$- and $κ$-weak dependence conditions, we introduce a weaker one, $λ$, which fits the Bernoulli shifts with dependent inputs.

研究动机与目标

• 解决现有弱依赖模型对高阶矩或因果结构的依赖性限制。
• 构建适用于弱依赖输入的非因果、非线性泛函的框架。
• 在最小矩和依赖性假设下建立Donsker型不变性原理。
• 在弱依赖设定下提供中心极限定理的收敛速率。

提出的方法

• 引入一种新的λ-弱依赖条件，推广η-和κ-弱依赖，保持在非线性变换下仍具有弱依赖性。
• 结合截断技术与H"older不等式，控制依赖序列的非线性泛函的矩。
• 应用Bernstein的分块方法与Lindeberg技巧，推导一般依赖系数下的不变性原理。
• 界定部分和的∆-矩（2 < ∆ < m），作为副产品建立大数定律。
• 通过投影条件实现鞅差逼近，但避免要求完整的Heyde条件。
• 采用对泛函H(Y)的新型截断分量分解，以控制依赖性和矩的增长。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在四阶矩以上条件下，为弱依赖过程的非因果、非线性泛函建立弱不变性原理？
• RQ2 新的λ-弱依赖条件是否在非线性变换下保持弱依赖性？
• RQ3 能否在弱于Doukhan & Louhichi (1999)的矩和依赖性假设下，推导出中心极限定理的收敛速率？
• RQ4 是否存在满足新条件但不满足标准投影或相关性准则的过程示例？

主要发现

• 在四阶矩以上条件下建立了弱不变性原理，优于Doukhan & Louhichi (1999)所要求的四阶以上矩。
• 新的λ-弱依赖条件确保了在非线性变换下弱依赖性的继承性，使得其可应用于具有依赖输入的伯努利位移过程。
• 推导出中心极限定理的收敛速率，显式界依赖于依赖系数的衰减速率。
• 该方法适用于非因果模型，如具有依赖创新项的移动平均的非线性泛函，此前基于鞅的方法在此类情形下失效。
• 证明表明，部分和的∆-矩在2 < ∆ < m范围内有界，作为副产品可推出大数定律。
• 基于截断的方法可在一般矩和衰减条件下控制矩和依赖性，避免对鞅逼近的二阶矩条件的要求。