[论文解读] An invariance principle under the total variation distance

Ivan Nourdin, Guillaume Poly|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2013

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 11被引用 5

一句话总结

本文在总变差距离下建立了独立同分布、均值为零、方差为一的随机变量的齐次多项式 chaos 的不变性原理。通过将 Prohorov 关于和的古典结果推广至高阶多项式，作者证明了此类 chaos 在总变差距离下收敛于标准正态分布，当且仅当某个 chaos 项具有绝对连续分量，利用马里亚文微积分和 Stein 方法技术控制分布之间的距离。

ABSTRACT

Let $X_1,X_2,\ldots$ be a sequence of i.i.d. random variables, with mean zero and variance one. Let $W_n=(X_1+\ldots+X_n)/\sqrt{n}$. An old and celebrated result of Prohorov asserts that $W_n$ converges in total variation to the standard Gaussian distribution if and only if $W_{n_0}$ has an absolutely continuous component for some $n_0$. In the present paper, we give yet another proof and extend Prohorov's theorem to a situation where, instead of $W_n$, we consider more generally a sequence of homogoneous polynomials in the $X_i$. More precisely, we exhibit conditions for a recent invariance principle proved by Mossel, O'Donnel and Oleszkiewicz to hold under the total variation distance. There are many works about CLT under various metrics in the literature, but the present one seems to be the first attempt to deal with homogeneous polynomials in the $X_i$ with degree strictly greater than one.

研究动机与目标

• 将 Prohorov 的不变性原理——最初针对独立同分布随机变量的标准化和——推广至高阶（大于一）的齐次多项式 chaos。
• 建立此类多项式 chaos 在总变差距离下收敛于标准正态分布的条件。
• 解决此前关于独立同分布随机变量的非线性泛函（特别是阶数 >1）在总变差距离下收敛性结果的缺失。
• 利用现代马里亚文微积分和 Stein 方法工具，提供 Prohorov 定理的新证明与推广。

提出的方法

• 作者使用马里亚文微积分分析阶数 $ d \geq 1 $ 的齐次多项式 chaos 的结构，确保各项的适当归一化和渐近可忽略性。
• 他们应用 Mossel、O'Donnell 和 Oleszkiewicz 的不变性原理，该原理在系数和矩满足弱条件时，保证在 Kolmogorov 距离下的收敛性。
• 关键技术组件是使用 Fortet-Mourier 距离，以连接分布收敛与总变差收敛，利用指示函数的光滑逼近。
• 证明依赖于将分布距离分解为涉及条件方差的分量，并使用光滑截断函数 $ \phi \star p_\alpha $ 控制密度的行为。
• 通过一系列涉及 Gamma 算子和 Ornstein-Uhlenbeck 算子的不等式，推导出总变差距离的界，利用恒等式 $ \Gamma(f,g) = \sum_i \partial_i f \partial_i g $ 和 Ornstein-Uhlenbeck 过程的生成元 $ \mathcal{L} $。
• 最终估计结合了近似、截断和尾部概率的误差项，通过调节参数 $ \alpha $、$ \delta $ 和 $ M $ 进行控制，然后取极限以实现收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，阶数 $ d \geq 2 $ 的齐次多项式 chaos 序列在总变差距离下收敛于标准正态分布？
• RQ2 Prohorov 关于和的不变性原理能否推广至独立同分布随机变量的非线性、高阶泛函？
• RQ3 某些 $ W_{n_0} $ 分布的绝对连续性在确保多项式 chaos 的总变差收敛中起什么作用？
• RQ4 如何将马里亚文微积分与 Stein 方法结合，以控制非线性设定下的总变差距离？
• RQ5 多项式 chaos 在总变差距离下的收敛是否存在定量速率？其依赖于系数结构的何种方式？

主要发现

• 本文证明了齐次多项式 chaos 序列 $ Q_n({\bf X}) $ 在总变差距离下收敛于标准正态分布，当且仅当某个 $ Q_{n_0}({\bf X}) $ 具有绝对连续分量。
• 在随机变量属于 $ L^{2+\epsilon} $ 且系数满足归一化和渐近可忽略性条件下，总变差收敛成立，其条件与 Mossel、O'Donnell 和 Oleszkiewicz 的不变性原理中 Kolmogorov 收敛条件相同。
• 作者推导出一个涉及随 $ \alpha \to 0 $、$ \delta \to 0 $ 和 $ M \to \infty $ 而趋于零的项的总变差距离界，从而得出距离趋于零的结论。
• 关键技术界为 $ \left| \mathbb{E}[\phi(Q_n(\mathbf{X}))] - \mathbb{E}[\phi(Q_n(\mathbf{Y})) \right| \leq \frac{4}{M} + 4\kappa \delta^{1/(2d+1)} + 2\sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{\alpha}{\delta} c(M) + \text{小项} $，该表达式在极限下趋于零。
• 该结果是首次在非线性泛函（阶数 >1 的多项式 chaos）中建立总变差收敛，填补了文献中此前仅研究线性和在该度量下的空白。
• 基于马里亚文微积分与光滑逼近的证明技术，为研究非线性和非高斯设定下的总变差收敛提供了一个新框架。