[论文解读] An inverse boundary value problem for certain anisotropic quasilinear elliptic equations

Cătălin I. Cârstea, Ali Feizmohammadi|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2020

Numerical methods in inverse problems参考文献 33被引用 23

一句话总结

本文在非线性项为解的梯度的解析函数的散度、线性部分为拉普拉斯算子的拟线性椭圆方程的逆边界值问题中，建立了唯一性。通过使用二阶线性化技术和高斯拟模构造，作者证明了即使非线性系数具有各向异性，其至N阶的系数仍能被Dirichlet-to-Neumann映射唯一确定，从而解决了此类方程逆问题中的一个关键开放问题。

ABSTRACT

In this paper we prove uniqueness in the inverse boundary value problem for quasilinear elliptic equations whose linear part is the Laplacian and nonlinear part is the divergence of a function analytic in the gradient of the solution. The main novelty in terms of the result is that the coefficients of the nonlinearity are allowed to be "anisotropic". As in previous works, the proof reduces to an integral identity involving the tensor product of the gradients of 3 or more harmonic functions. Employing a construction method using Gaussian quasi-modes, we obtain a convenient family of harmonic functions to plug into the integral identity and establish our result.

研究动机与目标

• 建立拟线性椭圆方程在各向异性非线性项下的逆边界值问题的唯一性。
• 证明Dirichlet-to-Neumann映射能唯一确定方程中非线性项的系数。
• 将现有唯一性结果推广至非线性系数非各向同性的情形，克服先前工作中的一项主要限制。
• 开发并应用一种通过高斯拟模构造调和函数的新方法，以分析由二阶线性化产生的积分恒等式。

提出的方法

• 采用二阶线性化方法，将Dirichlet-to-Neumann映射按小参数ǫ的幂展开，提取一阶及高阶项。
• 利用高斯拟模构造一族调和函数，这些函数是线性化方程的解，且被设计用于探测非线性系数。
• 推导出涉及三个或更多调和函数梯度张量积与非线性系数的积分恒等式。
• 应用极化技巧，将积分恒等式转化为可分离出单个系数分量的形式。
• 通过参数τ的渐近展开，提取积分恒等式中的主导项贡献，重点关注展开中的特定单项式。
• 利用所构造函数的对称性与正交性，消除虚假项，最终隔离出目标系数，证明C = 0，从而确立系数的唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当非线性系数为各向异性而非各向同性或常数时，能否在拟线性椭圆方程的逆边界值问题中建立唯一性？
• RQ2 即使系数依赖于空间变量且在指标置换下不具有对称性，Dirichlet-to-Neumann映射是否仍能唯一确定方程中非线性项的系数？
• RQ3 能否通过构造适当的调和函数，使二阶线性化方法适用于各向异性非线性项，从而探测系数的完整张量结构？
• RQ4 高斯拟模在构造允许通过极化方法提取单个系数分量的解中起到何种作用？
• RQ5 通过分析Dirichlet-to-Neumann映射渐近展开中的主导项，能否证明非线性系数张量的唯一性？

主要发现

• 主要结果为：若两个非线性项J^(1)与J^(2)对小边界数据产生相同的Dirichlet-to-Neumann映射，则对所有k = 2, ..., N，其系数J_k^(1)与J_k^(2)必须完全相同。
• 证明依赖于二阶线性化技术，该技术将Dirichlet-to-Neumann映射按小参数ǫ的幂展开，从而提取出k阶项Λ_k。
• 作者通过高斯拟模构造了一类特殊调和函数，这对探测非线性系数的张量结构至关重要。
• 通过分析三个此类调和函数乘积的渐近展开中的主导项，作者隔离出系数张量C并证明其必须为零，从而表明唯一性。
• 该方法通过利用梯度张量积的完整对称性的极化技巧，成功处理了各向异性系数。
• 在非线性部分关于梯度解析、系数光滑且紧支集的假设下，且对小边界数据解存在且唯一，该结果成立。