[论文解读] An inverse problem for compact Finsler manifolds with the boundary distance map

Maarten V. de Hoop, Joonas Ilmavirta+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2019

Advanced Differential Geometry Research参考文献 35被引用 4

一句话总结

本文证明了边界距离映射唯一确定了具有边界的光滑紧致Finsler流形的拓扑与微分结构。它确定了切丛中一个最优的纤维化开子集，在该子集中Finsler函数可由边界距离映射重构，并在Finsler函数为纤维实解析时证明了其唯一确定性。

ABSTRACT

We prove that the boundary distance map of a smooth compact Finsler manifold with smooth boundary determines its topological and differential structures. We construct the optimal fiberwise open subset of its tangent bundle and show that the boundary distance map determines the Finsler function in this set but not in its exterior. If the Finsler function is fiberwise real analytic, it is determined uniquely. We also discuss the smoothness of the distance function between interior and boundary points.

研究动机与目标

• 确定边界距离映射是否包含足够信息以重构具有边界的紧致Finsler流形的拓扑与微分结构。
• 识别切丛中Finsler函数可由边界距离映射重构的最大子集。
• 建立Finsler函数由边界距离映射唯一确定的条件。
• 分析流形内部点与边界点之间距离函数的光滑性性质。

提出的方法

• 构建一个最优的纤维化开子集，使得Finsler函数由边界距离映射确定。
• 利用边界距离映射推断流形的几何与拓扑不变量。
• 应用纤维实解析性假设，将局部重构推广至Finsler函数的全局唯一性。
• 使用反问题技术分析从内部点到边界点的距离函数的正则性。
• 采用微分几何与反问题方法，将边界测量与内部Finsler结构联系起来。
• 证明Finsler函数在所识别的最优纤维化开子集之外无法被确定。

实验结果

研究问题

• RQ1 边界距离映射是否能唯一确定具有边界的紧致Finsler流形的拓扑与微分结构？
• RQ2 Finsler函数可由边界距离映射重构的切丛中最大子集是什么？
• RQ3 在何种条件下Finsler函数由边界距离映射唯一确定？
• RQ4 在Finsler流形中，从内部点到边界点的距离函数的光滑性如何？
• RQ5 是否存在自然障碍，使得在切丛的特定纤维化开子集之外无法重构Finsler函数？

主要发现

• 边界距离映射唯一确定了紧致Finsler流形的拓扑与微分结构。
• 确定了一个最优的纤维化开子集，使得Finsler函数由边界距离映射确定。
• 在该最优纤维化开子集之外，Finsler函数无法被确定。
• 若Finsler函数为纤维实解析，则其由边界距离映射唯一确定。
• 在给定的几何条件下，证明了内部点与边界点之间距离函数的光滑性。
• 最优纤维化开子集的构造为边界测量所能实现的重构范围提供了精确极限。