[论文解读] An inverse spectral problem for second-order functional-differential pencils with two delays

Sergey Buterin, M.A. Malyugina+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2020

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 17被引用 4

一句话总结

本文解决了具有两个常数时滞的二阶函数微分束的逆谱问题，证明了唯一性，并提供了从共享一个边界条件的两个谱中恢复系数的构造性算法。关键贡献在于给出了可解性的必要且充分条件，并提出了完整的重构过程，解决了该领域长期存在的关于时滞算子的开放性问题。

ABSTRACT

We consider a second order functional-differential pencil with two constant delays of the argument and study the inverse problem of recovering its coefficients from the spectra of two boundary value problems with one common boundary condition. The uniqueness theorem is proved and a constructive procedure for solving this inverse problem along with necessary and sufficient conditions for its solvability is obtained. Moreover, we give a survey on the contemporary state of the inverse spectral theory for operators with delay. The pencil under consideration generalizes Sturm-Liouville-type operators with delay, which allows us to illustrate essential results in this direction, including recently solved open questions.

研究动机与目标

• 解决具有两个常数时滞的二阶函数微分束的逆谱问题，推广具有时滞的Sturm–Liouville算子。
• 从两个共享一个公共边界条件的边界值问题的谱中确定微分束的系数。
• 建立该逆问题可解性的必要且充分条件，并提供构造性重构过程。
• 解决时滞算子逆谱理论中的开放性问题，特别是关于势函数的唯一性和可识别性。

提出的方法

• 将函数微分束表述为带有两个常数时滞的Sturm–Liouville型算子，并在微分方程中引入谱参数。
• 通过推导与边界值问题相关的特征函数的渐近展开式来分析谱数据。
• 利用变换函数推导谱数据的积分表示，并引入辅助函数以建立谱与系数之间的关系。
• 构建包含谱与系数的方程组，从而通过谱数据恢复势函数。
• 应用变换方法将问题转化为Regge型问题，使特征函数表示得以应用。
• 利用谱数据通过积分方程组重构系数，并证明在所推导条件下解是唯一的。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否从共享一个公共边界条件的两个边界值问题的谱中唯一重构具有两个常数时滞的二阶函数微分束的系数？
• RQ2 该逆谱问题可解性的必要且充分条件是什么？
• RQ3 当时滞小于π/2时，特别是处于区间(0, π/2)内时，势函数的唯一性结果是否仍然成立？
• RQ4 当存在两个不同的时滞时，两个边界值问题的谱是否能唯一确定两个势函数？
• RQ5 是否存在不同势函数产生相同谱的情况，表明逆问题中存在非唯一性？

主要发现

• 本文证明了从共享一个边界条件的两个谱中唯一重构具有两个常数时滞的二阶函数微分束系数的逆谱问题的唯一性定理。
• 提供了基于谱数据和特征函数积分表示的构造性求解方法。
• 推导出该逆问题可解性的必要且充分条件，确保当且仅当满足这些条件时重构是可能的。
• 本文通过构造一个一参族同谱势函数的反例，解决了长期存在的开放性问题，表明当延迟属于(0, π/2)时，仅凭两个谱无法唯一确定势函数。
• 该反例表明，即使时滞不同，两个边界值问题的谱也可能无法唯一确定各自的势函数，从而否定了[19]和[20]中的先前主张。
• 本文证明了此前认为是最大的势函数唯一性子域确实是不可改进的，因为存在一参族不同的势函数产生相同的谱。