[论文解读] An involution on bicubic maps and β(0,1)-trees

Anders Claesson, Sergey Kitaev+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2012

Graph theory and applications参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文引入了一种在 β(0,1)-树上的对合——组合结构与双三次地图一一对应——证明了双三次地图上统计量 f1r3 与 f3r2 的联合等分布性。该对合在 β(0,1)-树上交换了根与 rmod 统计量，从而在双变量生成函数中建立了对称性。关键结果是 (f1r3, f3r2) 的联合分布关于两个统计量的交换保持不变，将早期的等分布结果推广为更强的对称性。

ABSTRACT

Bicubic maps are in bijection with β(0,1)-trees. We introduce two new ways of decomposing β(0,1)-trees. Using this we define an endofunction on β(0,1)-trees, and thus also on bicubic maps. We show that this endofunction is in fact an involution. As a consequence we are able to prove some surprising results regarding the joint equidistribution of certain pairs of statistics on trees and maps. Finally, we conjecture the number of fixed points of the involution.

研究动机与目标

• 建立双三次地图上统计量的更强等分布结果，超越单一等分布。
• 在 β(0,1)-树上定义一种新对合，交换关键统计量并保持树结构。
• 证明双三次地图上 (f1r3, f3r2) 的联合分布关于两个统计量交换具有对称性。
• 推测该对合的不动点数量，将其与卡塔兰数及 β(0,1)-树中的特殊节点联系起来。
• 将先前关于 β(1,0)-树与非可分地图的研究，扩展至 β(0,1)-树与双三次地图的设定。

提出的方法

• 将 β(0,1)-树定义为带整数标签的有根平面树，满足特定和约束：叶节点标签为 0，根节点标签比其子节点标签之和大 1，内部节点标签至多比子节点标签之和大 1。
• 提出 β(0,1)-树的两种新分解方式：基于根节点标签，以及基于根节点子节点数（sub(T)）。
• 在 β(0,1)-树上定义一个自映射 g，交换根标签与 rmod 统计量（子节点标签之和模 1 的余数），并证明其为对合。
• 利用已知的 β(0,1)-树与双三次地图之间的双射，将该对合映射到地图设定，并证明双变量生成函数的对称性。
• 提供两种证明：一种基于生成函数，另一种为组合证明，利用对合 g 展示联合等分布性。
• 推测 g 的不动点数量为 2^{n-1} 倍的卡塔兰数 C_{floor(n/2)}，并将其与具有特殊过度节点的树联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 双三次地图上统计量 f1r3 与 f3r2 的联合分布是否关于两个统计量的交换具有对称性？
• RQ2 能否在 β(0,1)-树上构造一种对合，交换根标签与 rmod 统计量，同时保持树结构？
• RQ3 该对合的不动点数量是多少？能否以闭合形式表达？
• RQ4 该联合分布的对称性是否可推广至 β(0,1)-树上的其他统计量对？
• RQ5 该对合的不动点与具有特殊过度节点的 β(0,1)-树之间是否存在双射？

主要发现

• 证明了 β(0,1)-树上的对合 g 是对合，即对所有树 T 满足 g(g(T)) = T。
• 对合 g 交换了根标签与 rmod 统计量，且满足 root(g(T)) = rmod(T) 与 rmod(g(T)) = root(T)。
• 由此可得，β(0,1)-树上 (root, rmod) 的联合分布具有对称性：对所有 n 个节点的树，有 ∑ x^{root(T)} y^{rmod(T)} = ∑ x^{rmod(T)} y^{root(T)}。
• 该对称性意味着双三次地图上 (f1r3, f3r2) 与 (f3r2, f1r3) 的联合等分布性，从而证明了定理 2。
• 该对合 g 的不动点数量被推测为 2^{n-1} C_{floor(n/2)}，其中 C_k 为第 k 个卡塔兰数。
• 该推测基于 n ≤ 12 的计算支持，且等价于不动点与具有特殊过度节点的 β(0,1)-树（在 floor(n/2)+1 个节点上）之间的双射。