[论文解读] An involution on Dyck paths that preserves the rise composition and interchanges the number of returns and the position of the first double fall

Martin Rubey|arXiv (Cornell University)|Jan 24, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 2被引用 6

一句话总结

本文提出了一种在Dyck路径上的显式对合，该对合保持上升组成（即上步长度的序列）不变，同时交换返回次数与首个双升位置。该对合通过路径分解的递归可逆变换构造而成，证明了这些统计量生成函数中的联合对称性，从而解决了近期关于321-避免排列研究中提出的对称性问题。

ABSTRACT

Motivated by a recent paper of Adin, Bagno and Roichman, we present an involution on Dyck paths that preserves the rise composition and interchanges the number of returns and the position of the first double fall.

研究动机与目标

• 为解决Adin、Bagno和Roichman提出的问题，即321-避免排列统计量生成函数中的对称性疑问。
• 提供一种在Dyck路径上构造的显式可逆映射，该映射交换返回次数与首个双升位置。
• 在固定上升组成条件下，证明涉及返回次数与首个双升位置的生成函数的联合对称性。
• 通过显式迭代对合，拓展对Dyck路径统计量中组合对称性的理解。

提出的方法

• 该对合作基于将Dyck路径分解为三段：P、Q和R，其中R是始于上步的最长单上升序列。
• 映射φ作用于不以单个东步结尾且ldr(D)非最大的路径，通过对Q的素成分重排并调整上步序列来实现变换。
• 根据Q的结构定义三种不同情形：存在早期上步序列、Q中无返回，或存在多个素成分。
• 逆映射按情形分别构造，确保可逆性并保持上升组成。
• 变换通过仅重新排列上步序列与东步在路径结构内的顺序，维持上升组成不变。
• 通过迭代φ或其逆，得到完整的对合Φ，从而保证生成函数中所需的对称性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在Dyck路径上构造一个显式可逆映射，使其保持上升组成的同时交换返回次数与首个双升位置？
• RQ2 此类映射是否意味着在固定上升组成下，返回次数与首个双升位置的生成函数具有联合对称性？
• RQ3 是否存在一种构造性、迭代式的对合，能够证明321-避免排列生成函数中观察到的对称性？
• RQ4 321-避免排列中的统计量bl(π)与ldes(π⁻¹)如何通过Dyck路径进行组合解释与变换？
• RQ5 Dyck路径的何种结构特性使得此类保持对称性的对合成为可能？

主要发现

• 对合Φ保持了Dyck路径的上升组成，确保上步长度的多重集保持不变。
• 该映射交换了返回次数（ret(D)）与首个双升位置（ldr(D)），后者以最后一个双升中点的y坐标度量。
• 该构造是迭代且可逆的，对路径分解的三种结构情形分别给出了明确的逆规则。
• 该对合证明了函数方程 ∑_{D∈Dₙ} x^{RISES(D)} p^{ret(D)} q^{n−ldr(D)} = ∑_{D∈Dₙ} x^{RISES(D)} p^{n−ldr(D)} q^{ret(D)}。
• 该方法为生成函数中的联合对称性提供了组合证明，解决了Adin、Bagno和Roichman提出的问题。
• 该结果在Dyck路径统计量中建立了新的对称性，拓展了与321-避免排列相关的拟对称函数中Schur正性理解。