[论文解读] An irrationality measure for Liouville numbers and conditional measures for Euler's constant

Jonathan Sondow|ArXiv.org|Jul 23, 2003

Advanced Mathematical Identities参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文引入了'无理性基' β(t)，这是一种新度量，通过用底数 β 替代标准无理性度量，以区分刘维尔数与非刘维尔数。在假设一个对对数线性型成立的条件（该条件得到数值证据支持）的前提下，本文证明了欧拉常数 γ 的无理性基的上界；若该条件不成立，则建立了标准无理性度量 μ(γ) 的上界。

ABSTRACT

The irrationality exponent $μ(t)$ of an irrational number t, defined using the irrationality measure $1/q^μ$, distinguishes among non-Liouville numbers and is infinite for Liouville numbers. Using the irrationality measure $1/β^q$, we define the "irrationality base" $β(t)$, which distinguishes among Liouville numbers and is 1 for non-Liouville numbers. We give some properties and examples. Assuming a condition on certain linear forms in logarithms, for which we present numerical evidence supplied by P. Sebah, we prove an upper bound on the irrationality base of Euler's constant, $γ$. If $γ$ is irrational and the condition turns out to be false in a certain strong sense, we prove an upper bound on $μ(γ)$.

研究动机与目标

• 定义一种新度量——'无理性基' β(t)，以区分刘维尔数与非刘维尔数。
• 在对对数线性型的条件性假设下，分析欧拉常数 γ 的无理性基。
• 在特定数论条件成立的假设下，提供 γ 的无理性基的上界。
• 探讨当该条件以强烈方式不成立时，对标准无理性度量 μ(γ) 的影响。

提出的方法

• 通过 t 的有理逼近的衰减率 1/β^q 定义无理性基 β(t)。
• 以标准无理性度量 μ(t) 为参考，但将其重新表述为 β(t) 的形式，以区分刘维尔数。
• 基于 P. Sebah 的数值证据，假设一个对对数线性型的条件，以推导 β(γ) 的界。
• 应用超越数论中的结果，特别是涉及对数形式的结果，以约束逼近误差的增长。
• 采用条件性推理：若对数形式条件以强烈方式不成立，则推导出 μ(γ) 的上界。
• 利用已知的无理性度量与刘维尔数结果，建立 β(t) 的理论框架。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一种有意义的无理性度量的改进形式，能够区分刘维尔数？
• RQ2 在对对数线性型的特定假设下，欧拉常数 γ 的无理性基 β(γ) 如何表现？
• RQ3 在对数形式条件成立的假设下，可以建立 β(γ) 的哪些上界？
• RQ4 若对数形式条件以强烈方式不成立，标准无理性度量 μ(γ) 会发生什么变化？
• RQ5 对数形式条件的数值证据能否用于支持 γ 无理性度量的理论上界？

主要发现

• 无理性基 β(t) 的定义满足：非刘维尔数有 β(t) = 1，而刘维尔数有 β(t) > 1，从而在刘维尔数内部提供了更精细的区分。
• 在假设对对数线性型成立的条件（该条件得到 P. Sebah 的数值证据支持）下，本文建立了欧拉常数 γ 的无理性基的上界。
• 若对数形式条件以强烈方式不成立，本文证明了标准无理性度量 μ(γ) 的上界，尽管未明确给出具体数值。
• 本文提供了无理性基的示例与性质，展示了其在刘维尔数分类中的实用性。
• 结果依赖于超越数论中的深层猜想，且该条件的合理性通过数值计算得到加强。
• 本工作有助于理解 γ 的逼近性质，这是数论中最具代表性的未解难题之一。