[论文解读] An irreducibility criterion for polynomials over integers

Biswajit Koley, A. Satyanarayana Reddy|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2019

Coding theory and cryptography被引用 2

一句话总结

本文提出了一个整系数多项式不可约性的不可约性判别准则，当常数项的绝对值等于其余所有系数绝对值之和且为素数时，该多项式要么不可约，要么可被分圆多项式整除。该准则使得三元多项式的不可约性测试和特定四元多项式的可分性判定变得简单。

ABSTRACT

In this article, we consider the polynomials of the form $f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n\in \mathbb{Z}[x],$ where $|a_0|=|a_1|+\dots+|a_n|$ and $|a_0|$ is a prime. We show that these polynomials have a cyclotomic factor whenever reducible. As a consequence, we give a simple procedure for checking the irreducibility of trinomials of this form and separability criterion for certain quadrinomials.

研究动机与目标

• 建立 ℤ[x] 中满足特定系数约束的多项式不可约性的充分条件。
• 确定此类多项式在可约时是否必然含有分圆因子。
• 提供一种实用算法，用于测试在给定条件下三元多项式的不可约性。
• 将分析扩展至满足相同条件的特定四元多项式的可分性准则。

提出的方法

• 分析满足 |a₀| = |a₁| + ⋯ + |aₙ| 且 |a₀| 为素数的多项式 f(x) ∈ ℤ[x]。
• 应用分圆多项式的性质，以确定其在可约时的因式分解行为。
• 利用 |a₀| 的素数性质，限制可能的因式分解形式。
• 应用模素数约化和根的分析，推导出分圆整除性。
• 基于检查是否存在分圆因子，推导出一个作为不可约性代理的决策过程。
• 将该准则应用于三元多项式和特定四元多项式，以推导出可分性条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，满足 |a₀| = Σ|aᵢ| 且 |a₀| 为素数的多项式 f(x) ∈ ℤ[x] 是不可约的？
• RQ2 若此类多项式可约，则其是否必然可被分圆多项式整除？
• RQ3 该判别准则能否用于构建一个用于测试三元多项式不可约性的简单算法？
• RQ4 在相同系数约束下，可为四元多项式推导出何种可分性条件？

主要发现

• 若多项式 f(x) ∈ ℤ[x] 满足 |a₀| = |a₁| + ⋯ + |aₙ| 且 |a₀| 为素数，则其要么不可约，要么可被分圆多项式整除。
• 当此类多项式可约时，其必然含有分圆因子。
• 该判别准则可实现对这类形式三元多项式不可约性的简单而有效的测试。
• 该方法可扩展至在相同条件下为特定四元多项式提供可分性准则。
• 该结果通过利用分圆多项式的已知性质，降低了不可约性测试的复杂度。