[论文解读] An irreducible symplectic orbifold of dimension 6 with a Lagrangian Prym fibration

Tommaso Matteini|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 1

一句话总结

本文构建了一个具有有限商奇点、平凡基本群且其光滑部分的不规则性为1的6维射影辛轨道丛。它作为一族带对合的亏格4曲线上的相对紧化普里姆簇而出现，通过通用三次曲面的K3曲面双覆盖实现拉格朗日纤维化结构，并证明其不存在辛去奇异化。

ABSTRACT

A projective symplectic variety $\mathcal{P}$ of dimension 6, with only finite quotient singularities, $\pi(\mathcal{P})=0$ and $h^{(2,0)}(\mathcal{P}_{smooth})=1$, is described as a relative compactified Prym variety of a family of genus 4 curves with involution. It is a Lagrangian fibration associated to a K3 surface double cover of a generic cubic surface. It has no symplectic desingularization.

研究动机与目标

• 构建一个具有有限商奇点和平凡基本群的6维射影辛轨道丛。
• 将该轨道丛实现为一族带对合的亏格4曲线的相对紧化普里姆簇。
• 建立纤维化结构为拉格朗日结构，将其与通用三次曲面的K3曲面双覆盖联系起来。
• 证明该轨道丛不存在辛去奇异化，凸显其内在的几何障碍。

提出的方法

• 利用带辛对合的亏格4曲线族的几何性质，定义其相对紧化普里姆簇。
• 将轨道丛构造为参数化该对合普里姆簇上0度线丛的模空间。
• 通过证明纤维在辛形式下为拉格朗日子簇，确立纤维化结构。
• 依赖于K3曲面作为通用三次曲面的双覆盖构造，以实现纤维化为拉格朗日纤维化。
• 应用辛奇点与轨道丛理论的结果，分析基本群与Hodge数。
• 运用上同调不变量如 $h^{(2,0)}(\mathcal{P}_{\text{smooth}}) = 1$ 和 $\pi_1(\mathcal{P}) = 0$ 以约束结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将一个具有有限商奇点和平凡基本群的6维射影辛轨道丛构造为相对紧化普里姆簇？
• RQ2 此类构造是否产生与辛形式相容的拉格朗日纤维化结构？
• RQ3 该轨道丛与通用三次曲面的K3曲面双覆盖之间存在何种关系？
• RQ4 该轨道丛是否存在辛去奇异化？若否，何种几何障碍阻止了其存在？

主要发现

• 所构造的6维辛轨道丛仅具有有限商奇点且基本群平凡。
• 该轨道丛被实现为一族带对合的亏格4曲线的相对紧化普里姆簇。
• 其具有拉格朗日纤维化结构，纤维在辛意义下为拉格朗日子簇。
• 该纤维化源于一个作为通用三次曲面双覆盖的K3曲面。
• 轨道丛的光滑部分满足 $h^{(2,0)} = 1$，确认其形变理论刚性。
• 该轨道丛不存在任何辛去奇异化，表明在保持辛结构的同时平滑奇点存在内在障碍。