[论文解读] An Isomorphism Between Moduli Spaces of Abelian Varieties

Ch. Birkenhake, Herbert Lange|ArXiv.org|Apr 22, 2002

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 2被引用 4

一句话总结

本文通过在阿贝尔簇族上使用对偶构造，建立了类型为 $(d_1,\ldots,d_g)$ 与 $(d_1, \frac{d_1d_g}{d_{g-1}}, \ldots, \frac{d_1d_g}{d_2}, d_g)$ 的极化阿贝尔簇模空间之间的典范同构。它在对偶阿贝尔簇 $\hat{A}$ 上定义了一个对偶极化 $\lambda^\delta$，使得 $\lambda^{\delta\delta} = \lambda$，并通过 Mukai 的傅里叶变换证明了在 $\hat{A}$ 上诱导的极化是其对偶同态的倍数，从而得出关键的模空间同构。

ABSTRACT

In a previous paper we showed that for every polarization on an abelian variety there is a dual polarization on the dual abelian variety. In this note we extend this notion of duality to families of polarized abelian varieties. As a main consequence we obtain an involution on the set of moduli spaces of polarized abelian varieties of dimension $g$. In particular, the moduli spaces $\mathcal A_{(d_1,...,d_g)}$ and $\mathcal A_{(d_1,\frac{d_1d_g}{d_{g-1}},...,\frac{d_1d_g}{d_2},d_g)}$ are canonically isomorphic.

研究动机与目标

• 将极化对偶性从单个阿贝尔簇推广到基概形上的族。
• 在对偶阿贝尔簇族 $\hat{A}/S$ 上定义一个典范对偶极化 $\lambda^\delta$，使得 $\lambda^{\delta\delta} = \lambda$。
• 证明类型为 $(d_1,\ldots,d_g)$ 与变换后类型的极化阿贝尔簇的模函子是同构的。
• 利用 Mukai 的傅里叶变换构造一个在 $\hat{A}/S$ 上的相对正则线丛 $\hat{\mathcal{L}}$，确保诱导的极化 $\phi_{\hat{\mathcal{L}}}$ 与对偶性相容。
• 证明所得模空间 $\mathcal{A}_{(d_1,\ldots,d_g)}$ 与 $\mathcal{A}_{(d_1, \frac{d_1d_g}{d_{g-1}}, \ldots, \frac{d_1d_g}{d_2}, d_g)}$ 之间存在典范同构。

提出的方法

• 通过同态 $\lambda: A \to \hat{A}$ 的逆，定义对偶极化 $\lambda^D: \hat{A} \to A$，满足 $\lambda^D \circ \lambda = e_A$ 与 $\lambda \circ \lambda^D = e_{\hat{A}}$。
• 利用 Mukai 的傅里叶变换，在 $\hat{A}/S$ 上构造线丛 $\hat{\mathcal{L}} := (\det F(\mathcal{L}))^{-1}$，其中 $F(\mathcal{L})$ 是 $A/S$ 上相对正则线丛 $\mathcal{L}$ 的傅里叶变换。
• 应用基变换定理，证明 $\mathcal{L}$ 是指标为 0 的 WIT 素丛，从而保证 $F(\mathcal{L})$ 是一个秩为 $d = h^0(\mathcal{L}_s)$ 的向量丛。
• 当 $\phi_{\mathcal{L}}$ 是可分时，利用关系式 $\phi_{\mathcal{L}}^* \hat{\mathcal{L}} = \pi^* (\det \pi_* \mathcal{L})^{-1} \otimes \mathcal{L}^d$，证明 $\phi_{\hat{\mathcal{L}}} = d_{1} \cdots d_{g-1} \cdot \phi_{\mathcal{L}}^D$。
• 利用平坦基变换与投影公式，推导出对 $S$ 上局部自由层 $\mathcal{F}$，有 $F(\pi^* \mathcal{F} \otimes \mathcal{M}) = \hat{\pi}^* \mathcal{F} \otimes F(\mathcal{M})$。
• 证明 $\phi_{\hat{\mathcal{L}}}$ 是相对正则的，并满足 $\phi_{\hat{\mathcal{L}}} \circ \phi_{\mathcal{L}} = d_A$，从而确认 $\phi_{\hat{\mathcal{L}}}$ 是 $\hat{A}/S$ 上的一个极化。

实验结果

研究问题

• RQ1 在极化阿贝尔簇族上是否存在一个典范的对偶运算，使得其在极化阿贝尔簇的模空间上诱导出一个对合？
• RQ2 能否从 $\lambda: A \to \hat{A}$ 内蕴地构造出 $\hat{A}/S$ 上的对偶极化 $\lambda^\delta$，使得 $\lambda^{\delta\delta} = \lambda$？
• RQ3 模空间 $\mathcal{A}_{(d_1,\ldots,d_g)}$ 是否通过一个典范同构与 $\mathcal{A}_{(d_1, \frac{d_1d_g}{d_{g-1}}, \ldots, \frac{d_1d_g}{d_2}, d_g)}$ 同构？
• RQ4 在 $\hat{A}/S$ 上的极化 $\phi_{\hat{\mathcal{L}}}$ 与对偶同态 $\phi_{\mathcal{L}}^D$ 之间的确切关系是什么？
• RQ5 在何种条件下，傅里叶变换构造能给出一个在 $\hat{A}/S$ 上为 $\phi_{\mathcal{L}}^D$ 倍数的极化？

主要发现

• 存在一个典范同构，将粗模空间 $\mathcal{A}_{(d_1,\ldots,d_g)}$ 与 $\mathcal{A}_{(d_1, \frac{d_1d_g}{d_{g-1}}, \ldots, \frac{d_1d_g}{d_2}, d_g)}$ 联系起来。
• 在 $\hat{A}/S$ 上的对偶极化 $\lambda^\delta$ 满足 $\lambda^{\delta\delta} = \lambda$，使得对偶性在模空间上构成一个对合。
• 对于类型为 $(d_1,\ldots,d_g)$ 的可分极化 $\phi_{\mathcal{L}}$，由傅里叶变换诱导的极化 $\phi_{\hat{\mathcal{L}}}$ 满足 $\phi_{\hat{\mathcal{L}}} = d_1 \cdots d_{g-1} \cdot \phi_{\mathcal{L}}^D$。
• $\hat{\mathcal{L}} := (\det F(\mathcal{L}))^{-1}$ 是 $\hat{A}/S$ 上的相对正则线丛，从而保证 $\phi_{\hat{\mathcal{L}}}$ 是一个极化。
• 关系式 $\phi_{\mathcal{L}}^* \hat{\mathcal{L}} = \pi^* (\det \pi_* \mathcal{L})^{-1} \otimes \mathcal{L}^d$ 暗示 $\phi_{\hat{\mathcal{L}}} \circ \phi_{\mathcal{L}} = d_A$，从而确认了对偶性。
• 对于可分极化，指数 $e = d_g$，且 $\phi_{\hat{\mathcal{L}}} = d_1 \cdots d_{g-1} \cdot \phi_{\mathcal{L}}^D$ 成立的精确条件是可分性。