[论文解读] An isomorphism Theorem for Yokonuma--Hecke algebras and applications to link invariants

Nicolas Jacon, Loïc Poulain d’Andecy|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2015

Geometric and Algebraic Topology参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文建立了雅可诺马–赫克代数 $Y_{d,n}$ 与类型 $A$ 的伊瓦霍里–赫克代数张量积的矩阵代数直和之间的显式同构，实现了对马尔可夫迹的完整分类，并构造了三变量纽结不变量。该同构使得经典赫克代数中的表示论与拓扑结果可转移至雅可诺马–赫克代数，证明了对经典纽结所得到的不变量在拓扑上等价于 HOMFLYPT 多项式。

ABSTRACT

We develop several applications of the fact that the Yokonuma--Hecke algebra of the general linear group GL is isomorphic to a direct sum of matrix algebras associated to Iwahori--Hecke algebras of type A. This includes a description of the semisimple and modular representation theory of the Yokonuma--Hecke algebras of GL and a complete classification of all the Markov traces for them. Finally, from these Markov traces, we construct 3-variables polynomials which are invariants for framed and classical knots and links, and investigate their properties with the help of the isomorphism.

研究动机与目标

• 建立雅可诺马–赫克代数 $Y_{d,n}$ 与类型 $A$ 的伊瓦霍里–赫克代数张量积的矩阵代数直和之间的显式同构。
• 利用该同构对 $Y_{d,n}$ 上的所有马尔可夫迹进行分类，并推导其参数的显式公式。
• 从这些迹出发，构造框架纽结与经典纽结的三变量多项式不变量。
• 通过同构关系研究所得到不变量与 HOMFLYPT 多项式之间的拓扑等价性。

提出的方法

• 显式构造 $Y_{d,n}$ 与以 $n$ 的 $d$ 部分组成划分索引的、类型 $A$ 的伊瓦霍里–赫克代数张量积的矩阵代数直和之间的同构。
• 利用该同构，从类型 $A$ 的伊瓦霍里–赫克代数的半单与模表示理论中推导出 $Y_{d,n}$ 的半单与模表示理论。
• 通过类型 $A$ 伊瓦霍里–赫克代数的典范对称形式在 $Y_{d,n}$ 上定义一个对称形式，并将其舒尔元素表示为类型 $A$ 代数舒尔元素的乘积。
• 通过同构将类型 $A$ 伊瓦霍里–赫克代数侧的分类结果翻译至 $Y_{d,n}$ 侧，利用同构关系将参数表示为生成元上迹值的函数。
• 构造三变量纽结不变量 $\mathrm{F}\Delta_{Y,S}$，作为不变量 $\mathrm{F}\Gamma^{ ho}_{Y,\mu^0}$ 的线性组合，其中系数 $\alpha_{\mu^0}$ 由显式公式给出。
• 通过证明在同构与迹参数化下不变量的等价性，证明从 $Y_{d,n}$ 得到的不变量在经典纽结上与 HOMFLYPT 多项式拓扑等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用 $Y_{d,n}$ 与类型 $A$ 的伊瓦霍里–赫克代数张量积之间的同构，完全分类其表示理论？
• RQ2 所有马尔可夫迹在 $Y_{d,n}$ 上的完整分类是什么？其参数如何显式计算？
• RQ3 能否从这些迹构造出框架纽结与经典纽结的三变量多项式不变量？其性质如何？
• RQ4 从 $Y_{d,n}$ 得到的不变量是否与经典纽结的 HOMFLYPT 多项式拓扑等价？
• RQ5 同构关系如何促进表示论与拓扑结果在 $Y_{d,n}$ 与类型 $A$ 的伊瓦霍里–赫克代数之间的转移？

主要发现

• 雅可诺马–赫克代数 $Y_{d,n}$ 同构于以 $n$ 的 $d$ 部分组成划分为索引的、类型 $A$ 的伊瓦霍里–赫克代数张量积的矩阵代数直和。
• 所有 $Y_{d,n}$ 上的马尔可夫迹均被分类，其参数 $\alpha_{\mu^0}$ 显式计算为：当对所有 $a \notin S$ 有 $\mu^0_a = 0$ 时，$\alpha_{\mu^0} = \frac{D_S^{\vert\mu^0\vert-1}}{|S|^{\vert\mu^0\vert}}$，否则为零。
• 三变量纽结不变量 $\mathrm{F}\Delta_{Y,S}$ 构造为不变量 $\mathrm{F}\Gamma^{\sqrt{q}^{-1}}_{Y,\mu^0}$ 的线性组合，系数为 $\alpha_{\mu^0}$，其中 $u$ 和 $v$ 通过 $u^2 = q$，$v = q-1$，$\lambda_S = D_S / |S|$ 用 $q$ 与 $\lambda_S$ 表示。
• 从 $Y_{d,n}$ 得到的经典纽结不变量在拓扑上等价于 HOMFLYPT 多项式，该结论由同构与迹参数化关系所证实。
• 在 $Y_{d,n}$ 上的对称形式由类型 $A$ 伊瓦霍里–赫克代数的典范对称形式诱导，其舒尔元素为类型 $A$ 代数舒尔元素的乘积。
• 马尔可夫迹 $\widetilde{\rho}_{S,n}$ 关于迹基 $\rho_{\mu^0,n}$ 的分解显式给出为 $\mathrm{F}\Delta_{Y,S} = \sum_{\mu^0 \in \mathrm{Comp}_d^0} \alpha_{\mu^0} \mathrm{F}\Gamma^{\sqrt{q}^{-1}}_{Y,\mu^0}$，其中 $\alpha_{\mu^0}$ 如 (72) 式所定义。