[论文解读] An iteration procedure for a two-term Machin-like formula for pi with small Lehmer's measure

Sanjar M. Abrarov, Brendan M. Quine|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2017

Algebraic structures and combinatorial models被引用 4

一句话总结

本文提出了一种新颖的迭代方法，用于一种两倍项马欣公式（Machin-like formula）计算 π，其莱赫默度量（Lehmer’s measure）低至约 0.245319，创下新纪录。通过利用有理逼近和不含复数的递推关系，该方法实现了快速收敛——每增加一项即可获得 16 位额外的 π 数字，提供了一种完全基于有理数运算的高效计算方法，且在算术运算中完全避免使用无理数或复数。

ABSTRACT

In this paper we present a two-term Machin-like formula for pi \[\fracπ{4} = 2^{k - 1}\arctan\left(\frac{1}{u_1} ight) + \arctan\left(\frac{1}{u_2} ight)\] with small Lehmer's measure $e \approx 0.245319$ and describe iteration procedure for simplified determination of the required rational number $u_2$ at $k = 27$ and $u_1 = 85445659$. With these results we obtained a formula that has no irrational numbers involved in computation and provides $16$ digits of pi at each increment by one of the summation terms. This is the smallest Lehmer's measure ever reported for the Machin-like formulas for pi.

研究动机与目标

• 开发一种莱赫默度量极小的 π 高效马欣类公式。
• 简化两倍项公式中所需有理参数 u₁ 和 u₂ 的计算过程。
• 在 π 的迭代计算中完全避免使用无理数或复数。
• 实现快速收敛，使每项求和可增加 16 位 π 的精度。
• 提供一种实用且可扩展的算法，仅使用有理数算术实现 π 的高精度计算。

提出的方法

• 该方法基于恒等式 π/4 = 2^{k-1} arctan(1/u₁) + arctan(1/u₂)，通过迭代确定 u₁ 和 u₂，推导出递推关系。
• 采用不含复数的递推关系，计算反正切级数展开的系数 αₘ, βₘ, γₘ, 和 θₘ。
• 公式表达为 π = 8 Σ (1/(2m−1)) [2^{k−1} αₘ/(αₘ²+βₘ²) + γₘ/(γₘ²+θₘ²)]，实现完全的有理数运算。
• 参数 u₂ 通过涉及 (u₁+i)/(u₁−i) 的幂的闭式表达式计算，随后简化为有理数。
• 迭代过程确保 u₁ 为有理数，u₂ 精确推导，避免浮点近似。
• 该方法在 Mathematica 中实现，利用递推关系和高精度算术验证收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造出莱赫默度量显著低于以往已知值的两倍项马欣类 π 公式？
• RQ2 是否可能仅使用有理数计算此类公式，避免使用复数或无理数算术？
• RQ3 能否将收敛速度提升至每项增加可获得 16 位 π 的精度？
• RQ4 可采用何种递推关系高效且精确地计算反正切级数的系数？
• RQ5 如何系统性地确定大 k 值下的参数 u₂，且不引发数值不稳定性？

主要发现

• 作者实现了约 0.245319 的莱赫默度量，为目前所有马欣类 π 公式中最小的报告值。
• 由于反正切级数的快速收敛，该方法每增加一项求和项，即可获得 16 位额外的 π 精度。
• 所有计算均仅使用有理数完成，迭代计算中完全不使用无理数或复数。
• αₘ, βₘ, γₘ, 和 θₘ 的递推关系稳定，可仅通过有理数算术实现 π 的高精度计算。
• 当 k = 27 且 u₁ = 85445659 时，公式可导出有理数形式的 u₂，支持 π 的高精度计算，且计算开销极小。
• 数值测试确认，级数展开式 (22) 的收敛速度优于欧拉级数 (23)，在仅 10 项时，误差项已降至 4.54 × 10⁻¹³⁴（x = 10⁻⁶ 时）。