[论文解读] An iterative algorithm for evaluating approximations to the optimal exercise boundary for a nonlinear Black-Scholes equation

Daniel Ševčovič|ArXiv.org|Oct 28, 2007

Stochastic processes and financial applications参考文献 23被引用 17

一句话总结

本文提出了一种迭代数值算法，用于近似在非线性Black-Scholes模型下美式期权的提前行权边界，其中波动率依赖于标的资产价格和期权的伽马（二阶导数）。通过将自由边界问题转化为带有非线性代数约束的固定域非线性抛物型PDE，该方法利用算子分裂技术迭代求解边界，表明在交易成本和风险厌恶等非线性影响下，边界发生显著变化，其收敛率分别为$ O(R^{1/3}) $（RAPM模型）和$ O(a^{2/3}) $（Barles-Soner模型）。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to analyze and compute the early exercise boundary for a class of nonlinear Black--Scholes equations with a nonlinear volatility which can be a function of the second derivative of the option price itself. A motivation for studying the nonlinear Black--Scholes equation with a nonlinear volatility arises from option pricing models taking into account e.g. nontrivial transaction costs, investor's preferences, feedback and illiquid markets effects and risk from a volatile (unprotected) portfolio. We present a new method how to transform the free boundary problem for the early exercise boundary position into a solution of a time depending nonlinear parabolic equation defined on a fixed domain. We furthermore propose an iterative numerical scheme that can be used to find an approximation of the free boundary. We present results of numerical approximation of the early exercise boundary for various types of nonlinear Black--Scholes equations and we discuss dependence of the free boundary on various model parameters.

研究动机与目标

• 开发一种稳健的数值方法，用于近似在波动率依赖于期权价格二阶导数的非线性Black-Scholes方程下美式期权定价的提前行权边界。
• 解决由交易成本、反馈效应和风险厌恶等市场摩擦引起的非线性PDE中自由边界问题的挑战。
• 提供一种计算高效的迭代方案，将移动边界问题转化为可通过算子分裂求解的固定域问题。
• 量化提前行权边界对风险溢价、交易成本和风险厌恶等模型参数的敏感性。

提出的方法

• 通过引入将移动边界映射到固定坐标的变换，将自由边界问题重新表述为在固定空间域上的非线性抛物型PDE。
• 该方法引入一个非线性代数约束，将边界位置与PDE解关联，以确保与提前行权条件的一致性。
• 应用算子分裂技术解耦PDE与代数约束，从而实现对系统的迭代求解。
• 迭代方案在给定边界估计下交替求解抛物型PDE，并利用非线性约束更新边界位置。
• 该算法在多种非线性模型中实现数值计算，包括风险调整定价方法（RAPM）和Barles-Soner模型。
• 通过非线性与线性（Black-Scholes）边界解之间差值的$ L^p $-范数评估收敛性，并计算实验收敛阶。

实验结果

研究问题

• RQ1 当波动率非线性地依赖于期权的伽马及其他模型参数时，美式期权的提前行权边界如何变化？
• RQ2 当交易成本或风险厌恶参数趋近于零时，自由边界向经典Black-Scholes边界的收敛速率是多少？
• RQ3 波动率函数的非线性结构是否会改变提前行权边界的凸性特征，特别是在具有风险厌恶或反馈效应的模型中？
• RQ4 迭代算子分裂方案能否高效且准确地近似具有非局部波动率的非线性Black-Scholes方程中的自由边界？
• RQ5 不同模型参数（如风险溢价、交易成本和风险厌恶）如何影响提前行权边界的定位与形状？

主要发现

• 数值结果证实，在Barles-Soner模型中，风险厌恶越高，提前行权边界越大，且与线性Black-Scholes边界的偏差随$ a \to 0 $按$ O(a^{2/3}) $缩放，基于$ L^2 $和$ L^\infty $范数均成立。
• 对于RAPM模型，非线性边界与线性边界的距离按$ O(R^{1/3}) $缩放，其中$ R $为风险溢价系数，表明边界存在次线性但可测量的偏移。
• 该迭代算法表现出稳定的收敛性，并能有效捕捉不同非线性波动率模型（包括具有反馈效应和交易成本的模型）下的边界行为。
• 数值证据表明，在Barles-Soner模型中，当风险厌恶较大时，提前行权边界可能失去凸性，这挑战了在恒定波动率下经典的凸性结论。
• 该方法成功地将自由边界问题转化为带有非线性约束的固定域PDE，通过算子分裂实现鲁棒且高效的数值求解。
• 两种模型的实验收敛阶均与理论推测高度一致，支持了从数值实验中推导出的渐近缩放律的有效性。