[论文解读] An L^1 ergodic theorem with values in a nonpositively curved space via a canonical barycenter map

Andrés Navas|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals被引用 10

一句话总结

本文通过引入具有有限一阶矩的概率测度的典范重心映射，建立了取值于非正曲率度量空间（特别是可分Buseman空间或Banach空间）的函数的L¹遍历定理。关键结果表明，在可约群作用下，轨道平均的重心以几乎处处和L¹范数收敛于一个T-不变函数，通过度量测度论技术将经典Birkhoff遍历理论推广至非欧几何设定。

ABSTRACT

We extend a recent result of Tim Austin (see arXiv:0905.0515) to the L^1 setting, thus providing a general version of the Birkhoff ergodic theorem for functions taking values in nonpositively curved spaces. In this setting, the notion of a Birkhoff sum is replaced by that of a barycenter along the orbit. The construction of an appropriate barycenter map is the core of this note. In particular, we solve a problem raised by K.-T. Sturm showing that local compactness for the underlying space is superfluous for the construction (this extends a result of A. Es-Sahib and H. Heinich). As a byproduct of our construction, we prove a fixed point theorem for actions by isometries on a Buseman space.

研究动机与目标

• 将经典的L¹遍历定理推广至非正曲率度量空间，其中函数取值不再属于向量空间，而是属于具有曲率约束的几何空间。
• 在可分Buseman空间上，为具有有限一阶矩的概率测度构造一个重心映射，克服了先前概率方法对局部紧致性的依赖。
• 在点态和L¹意义下，建立可约群作用下轨道平均重心的收敛性，推广经典Birkhoff定理。
• 通过新构造的重心映射，证明在不假设严格凸性的情况下，Buseman空间上任意紧致等距群都有不动点。

提出的方法

• 在可分Buseman空间$ X $上，为具有有限一阶矩的概率测度引入典范重心映射$ bar^* : P^1(X) \to X $，定义为距离积分的极小化点。
• 证明$ bar^* $关于1-Wasserstein度量是1-Lipschitz的，从而实现稳定性和收敛性分析。
• 将重心映射应用于由可约群中温和Følner序列上$ \varphi(T^g \omega) $的平均形成的经验测度。
• 利用$ bar^* $的收缩性，将重心收敛性归约为实值函数的收敛性，使得Lindenstrauss的点态遍历定理适用。
• 通过简单函数逼近和最大不等式（基于Lindenstrauss定理）控制振荡，证明几乎必然收敛。
• 通过三角不等式和逼近方法，证明重心映射序列在$ L^1 $-范数下是柯西序列，从而建立$ L^1 $收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典Birkhoff遍历定理能否推广至取值于非正曲率度量空间的函数，当函数属于$ L^1 $而非$ L^2 $时？
• RQ2 在Buseman空间上，$ P^1(X) $（具有有限一阶矩的概率测度空间）是否存在一个典范重心映射，使其关于1-Wasserstein度量是1-Lipschitz的？
• RQ3 在可约群作用下，轨道平均的重心是否在几乎处处和$ L^1 $意义下收敛于该几何设定中的$ T $-不变函数？
• RQ4 能否通过新构造的重心映射，在不假设严格凸性的情况下，证明Buseman空间上紧致等距群具有不动点？

主要发现

• 在$ P^1(X) $上，典范重心映射$ bar^* $关于1-Wasserstein度量是1-Lipschitz的，为具有有限一阶矩的测度提供了稳健的几何均值。
• 沿温和Følner序列的平均经验测度的重心在几乎处处意义下收敛于$ L^1 $中的$ T $-不变函数，推广了经典Birkhoff定理。
• 该收敛性在可分Banach空间和可分Buseman空间中均成立，且在$ \mathbb{R} $情况下，重心退化为标准算术平均。
• 该构造避免了先前工作中所需的有限局部紧致性假设，解决了Sturm（2007，例6.5）提出的问题。
• 该方法证明了在不假设严格凸性的情况下，Buseman空间上任意紧致等距群都有不动点，方法基于$ bar^* $映射及其不变性。
• 通过柯西准则建立重心序列的$ L^1 $收敛性，依赖于简单函数逼近和1-Wasserstein距离的最大不等式。