[论文解读] An $L^p$-theory of non-divergence form SPDEs driven by Lévy processes

Zhen-Qing Chen, Kyeong-Hun Kim|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2010

Stochastic processes and financial applications参考文献 3被引用 5

一句话总结

本文基于 Krylov 的工作所启发的分析方法，为由广义 Lévy 过程驱动的非散度型随机偏微分方程（SPDEs）建立了 $L^p$-理论。证明了在 Sobolev 空间 $H^n_p$ 中，当 $p \in [2,\infty)$ 时解的存在性、唯一性以及先验估计，将经典的 $L^2$-理论推广至更高可积性，并允许随机项中包含一阶空间导数。

ABSTRACT

In this paper we present an $L^p$-theory for the stochastic partial differential equations (SPDEs in abbreciation) driven by Lé{}vy processes. Existence and uniqueness of solutions in Sobolev spaces are obtained. The coefficients of SPDEs under consideration are random functions depending on time and space variables.

研究动机与目标

• 为由广义 Lévy 过程驱动的随机系数非散度型 SPDE 建立全面的 $L^p$-理论，超越仅由 Wiener 过程驱动的方程。
• 在 Lévy 测度的最小可积性假设下，证明在 Sobolev 空间 $H^n_p$ 中解的存在性与唯一性，其中 $p \in [2,\infty)$ 且 $n \in \mathbb{R}$。
• 允许系数和自由项为依赖于时间和空间的随机函数，并在随机部分中包含一阶空间导数，这是以往研究中未涵盖的内容。
• 将现有 $L^2$-理论结果推广至更高的 $L^p$ 可积性，从而为解提供更强的正则性估计。

提出的方法

• 采用基于 Krylov 的 SPDE $L^p$-理论的分析方法，利用先验估计与连续性方法证明存在性与唯一性。
• 以分布意义下定义 SPDE 的弱解，其中系数与强迫项关于滤子适应，并关于可预测 $\sigma$-域可测。
• 通过光滑截断函数 $\zeta_n$ 使用局部化技术，对解进行局部化，并在基于 $L^p$ 的 Sobolev 范数下导出能量型估计。
• 应用 Itô 公式与 Lévy 过程的随机积分理论，包括 Lévy-Itô 分解以分离跳跃与扩散分量。
• 运用嵌入不等式与 Gronwall 不等式，闭合 $\mathbb{H}^{\gamma+2}_p$ 与 $\mathbb{H}^{\gamma+2}_2$ 范数下的先验估计。
• 利用连续性方法及常系数 SPDE 的结果（定理 3.5），将变系数情形约化为先验估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为由广义 Lévy 过程（包括具有跳跃和非零 Lévy 测度的过程序）驱动的非散度型 SPDE 建立 $L^p$-理论？
• RQ2 是否可能在 $p > 2$ 条件下于 Sobolev 空间 $H^n_p$ 中建立解的存在性与唯一性，从而扩展经典 $L^2$-理论？
• RQ3 当系数为随机函数且驱动过程为广义 Lévy 过程时，如何处理 SPDE 随机部分中的一阶空间导数？
• RQ4 在 Lévy 测度的最小可积性条件下，能否为这类 SPDE 在基于 $L^p$ 的 Sobolev 范数下导出先验估计？

主要发现

• 本文为所有 $p \in [2,\infty)$ 的由 Lévy 过程驱动的非散度型 SPDE 建立了 $L^p$-理论，不仅限于 $p=2$，从而可得解更强的正则性结果。
• 证明了 $\mathbb{H}^{\gamma+2}_p$-型范数下的先验估计，从而在适当的可积性与椭圆性条件下，保证了解在 Sobolev 空间 $H^n_p$ 中的存在性与唯一性。
• 该理论允许随机部分中存在一阶空间导数（$\sigma^{ik}u_{x^i}$），这在大多数先前关于 Lévy 驱动 SPDE 的研究中被排除。
• $L^p$-理论被推广至随机系数与自由项，即使 $\sigma^{ik} \neq 0$ 时结果依然成立，这是对先前工作的显著推广。
• 本文证明了解 $u$ 满足先验估计 $\|u\|_{\mathcal{H}^{\gamma+2}_p(T)} \leq c\left(\|f\|_{\mathbb{H}^{\gamma}_p(T)} + \|g\|_{\mathbb{H}^{\gamma+1}_p(T,\ell^2)} + \|u_0\|_{U^{\gamma+2}_p}\right)$，其中常数与 $u$ 无关。
• 即使对于随机热方程 $du = \Delta u\,dt + g\,dZ_t$，这些结果也是全新的，因为它们在所有 $p \in [2,\infty)$ 下建立了在 $L^p(\Omega \times [0,T], H^n_p)$ 中的可解性，而不仅限于 $p=2$。