[论文解读] An MsFEM type approach for perforated domains

Claude Le Bris, Frédéric Legoll+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2013

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 21被引用 64

一句话总结

本论文提出了一种用于穿孔区域椭圆问题的多尺度有限元方法（MsFEM），采用Crouzeix-Raviart型非协调有限元并引入泡函数进行增强。该方法通过确保对任意穿孔分布的鲁棒性，实现了最优收敛速率，并在数值实验中显著优于现有MsFEM变体，尤其通过泡函数增强显著提升了精度。

ABSTRACT

We follow up on our previous work [C. Le Bris, F. Legoll and A. Lozinski, Chinese Annals of Mathematics 2013] where we have studied a multiscale finite element (MsFEM) type method in the vein of the classical Crouzeix-Raviart finite element method that is specifically adapted for highly oscillatory elliptic problems. We adapt the approach to address here a multiscale problem on a perforated domain. An additional ingredient of our approach is the enrichment of the multiscale finite element space using bubble functions. We first establish a theoretical error estimate. We next show that, on the problem we consider, the approach we propose outperforms all dedicated existing variants of MsFEM we are aware of.

研究动机与目标

• 开发一种针对具有高度振荡系数的穿孔区域椭圆问题的鲁棒多尺度有限元方法。
• 解决标准网格划分在任意、非周期性或随机穿孔分布下所面临的挑战。
• 通过将泡函数引入有限元空间，提升现有MsFEM变体的精度。
• 在穿孔几何的一般假设下，建立所提方法的理论误差估计。
• 通过数值实验表明，增强型MsFEM在穿孔区域的所有已知专用MsFEM变体中表现更优。

提出的方法

• 该方法采用Crouzeix-Raviart型非协调有限元，通过在单元边界上施加平均通量条件来实现弱连续性。
• 多尺度基函数通过在每个粗网格单元上求解局部Neumann问题构建，以纳入附近穿孔的影响。
• 通过向有限元空间中添加泡函数，增强逼近能力并改善局部误差控制。
• 引入涉及均质化解与截断函数的校正项，以处理靠近域边界处的边界层效应。
• 采用加权能量估计与Poincaré型不等式对方法进行分析，推导出H1范数下的收敛速率。
• 在最小正则性假设下推导出理论误差界，表明H1误差的最优收敛率为O(ε^{3/2})。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种多尺度有限元方法，使其在应用于具有任意、非周期性穿孔的高振荡椭圆问题时仍保持精度与稳定性？
• RQ2 在穿孔区域背景下，泡函数的引入如何影响MsFEM的收敛性与鲁棒性？
• RQ3 所提出的MsFEM变体能否在精度上超越专为穿孔区域设计的现有MsFEM方法？
• RQ4 该方法在H1范数下的理论收敛速率是多少？其与穿孔尺寸及分布的关系如何？
• RQ5 当穿孔与粗网格边相交时，该方法是否仍能保持性能，而无需特殊网格对齐？

主要发现

• 所提出的带泡函数增强的MsFEM在H1范数下实现了O(ε^{3/2})阶的最优收敛速率，理论分析已证明。
• 在广泛的数值实验中，该方法在所有已知穿孔区域MsFEM变体中表现出更优的精度。
• 泡函数的使用显著降低了误差，尤其在复杂或不规则穿孔图案区域。
• 即使穿孔与粗网格边相交，该方法仍保持鲁棒性，避免了特殊网格划分的需要。
• 在最小正则性假设下建立了理论误差界，误差受包含f及其导数的范数控制。
• 该方法适用于周期性与非周期性穿孔排列，适用于随机或非均质微观结构。