[论文解读] An NP-hardness Result on the Monoid Frobenius Problem

Zhi Xu, Jeffrey Shallit|ArXiv.org|May 27, 2008

semigroups and automata theory参考文献 4被引用 4

一句话总结

本文证明了，即使输入以正则表达式压缩形式给出，判断由正则表达式 $E^*$ 生成的语言是否为共有限语言（即包含所有足够长的字符串）是 NP-难的。该结果通过从 3SAT 的多项式时间归约得到，表明 3CNF 公式的可满足性等价于 $E^*$ 不是共有限语言，且该问题也被证明属于 PSPACE。

ABSTRACT

The following problem is NP-hard: given a regular expression $E$, decide if $E^*$ is not co-finite.

研究动机与目标

• 研究当输入单词集合以正则表达式压缩形式给出时，幺半群 Frobenius 问题的计算复杂性。
• 确定由正则表达式 $E$ 生成的语言 $E^*$ 是否为共有限语言，即是否包含字母表上的所有足够长的字符串。
• 在输入为正则表达式的约束下，建立判断 $E^*$ 不是共有限语言问题的 NP-难性。
• 证明该问题属于 PSPACE，从而完成对压缩幺半群 Frobenius 问题的复杂性分类。

提出的方法

• 从一个 3SAT 实例构造一个无星号的正则表达式 $E$，将子句编码为字母表 $Σ = \{T, F\}$ 上的字符串，其中每个子句对应一个字面量的析取。
• 定义 $E = E' + E''(T+F)$，其中 $E'$ 编码子句，$E'' = (T+F)^n$ 表示所有可能的变量赋值。
• 利用引理 3 证明：当且仅当 $E' \neq E''$ 时，$E^*$ 不是共有限语言，而该条件恰好在 3SAT 实例可满足时成立。
• 通过从 3SAT 到 $E^*$ 是否为共有限语言的决策问题的多项式时间归约，证明 NP-难性。
• 从正则表达式 $E$ 构造一个大小为 $O(t+1)$ 的 NFA，其中 $t$ 是 $E$ 的长度，以模拟 $E^*$。
• 利用 Savitch 定理证明该问题属于 PSPACE，通过使用多项式空间追踪状态可达性，验证长度在 $[n, 2n)$ 范围内存在被拒绝的字符串，其中 $n = 2^{t+1}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $E$ 是正则表达式时，判断 $E^*$ 是否为共有限语言的问题是否为 NP-难？

主要发现

• 即使输入是二元字母表上的正则表达式，且语言仅由两种长度的单词构成，判断 $E^*$ 是否为共有限语言的问题仍是 NP-难的。
• 通过从 3SAT 的多项式时间归约建立 NP-难性，其中 3SAT 实例可满足当且仅当 $E^*$ 不是共有限语言。
• 该问题属于 PSPACE，因为可以通过多项式空间验证长度在 $[n, 2n)$ 范围内存在被拒绝的字符串，其中 $n = 2^{t+1}$。
• 该结果意味着，即使在受限输入格式下，压缩输入的幺半群 Frobenius 问题仍是 NP-难的。
• 该证明依赖于如下事实：若 $S^*$ 是共有限语言，且 $S \to Σ^n \cup \u03A3^{n+1}$，其中 $\gcd(n,n+1)=1$，则 $\Sigma^n \subseteq S$；但当 $E' \neq E''$ 时该结论不成立，对应于可满足的 3SAT 实例。
• 即使限制为无星号正则表达式，或语言仅由恰好两种长度的单词构成，该问题仍为 NP-难。