[论文解读] An O(1)-Approximation for Minimum Spanning Tree Interdiction

Rico Zenklusen|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 2015

Infrastructure Resilience and Vulnerability Analysis参考文献 29被引用 4

一句话总结

本文提出了最小生成树（MST）干扰问题的第一个 O(1)-近似算法，通过克服近似算法中长期存在的障碍，实现了 14-近似。该方法利用了基于边集分层分解的新型动态规划框架，并运用一个关键的结构引理来界定最优干扰的成本，从而在仅知 O(log m)-近似的情况下实现了常数因子保证。

ABSTRACT

Network interdiction problems are a natural way to study the sensitivity of a network optimization problem with respect to the removal of a limited set of edges or vertices. One of the oldest and best-studied interdiction problems is minimum spanning tree (MST) interdiction. Here, an undirected multigraph with nonnegative edge weights and positive interdiction costs on its edges is given, together with a positive budget B. The goal is to find a subset of edges R, whose total interdiction cost does not exceed B, such that removing R leads to a graph where the weight of an MST is as large as possible. Frederickson and Solis-Oba (SODA 1996) presented an O(log m)-approximation for MST interdiction, where m is the number of edges. Since then, no further progress has been made regarding approximations, and the question whether MST interdiction admits an O(1)-approximation remained open. We answer this question in the affirmative, by presenting a 14-approximation that overcomes two main hurdles that hindered further progress so far. Moreover, based on a well-known 2-approximation for the metric traveling salesman problem (TSP), we show that our O(1)-approximation for MST interdiction implies an O(1)-approximation for a natural interdiction version of metric TSP.

研究动机与目标

• 为自 1996 年以来仅知 O(log m)-近似的最小生成树（MST）干扰问题，填补其近似可解性上的长期空白。
• 开发 MST 干扰问题的常数因子近似算法，解决组合优化领域的一个开放问题。
• 通过利用 MST 与 TSP 权重之间的 2-近似关系，将结果扩展至度量 TSP 干扰问题的 O(1)-近似。
• 克服两大主要障碍：目标函数的非子模性，以及高效探索具有不同成本结构的干扰模式的困难。

提出的方法

• 基于干扰成本将边划分为层级的分层分解，支持在候选干扰集合的树状结构上进行动态规划。
• 通过在每一层贪婪选择边集，并借助成本受限的可行性检查，构建高效的移除模式。
• 一个关键的结构引理，确保在给定层级上移除一组边的近似最优干扰模式，可被扩展为具有有界成本的完整解。
• 使用对偶拟合方法和成本-收益分析来界定近似比，证明该算法的解在最优解的 14 倍以内。
• 通过利用 MST 对 TSP 的著名 2-近似性质，将 MST 干扰问题转化为度量 TSP 干扰问题，证明 MST 的 14-近似可推出 TSP 的 28-近似。
• 该算法通过迭代构建候选干扰模式集合，保持成本和目标值的可行性与单调性，并通过贪心选择规则选取最优解。

实验结果

研究问题

• RQ1 鉴于自二十多年前仅知 O(log m)-近似，能否为最小生成树干扰问题实现 O(1)-近似？
• RQ2 MST 干扰问题的何种结构特性使其尽管目标函数非子模，仍可实现常数因子近似？
• RQ3 为 MST 干扰问题开发的近似框架能否扩展至其他干扰问题，如度量 TSP 干扰问题？
• RQ4 阻碍 MST 干扰问题进展超过 O(log m)-近似的两大主要障碍是什么？如何克服？
• RQ5 能否利用 MST 与 TSP 之间已知的结构关系，将 MST 干扰的近似结果转化为度量 TSP 干扰的常数因子近似？

主要发现

• 本文首次提出最小生成树干扰问题的 O(1)-近似算法，实现了 14-近似比。
• 该算法克服了两大主要障碍：目标函数的非子模性，以及高效探索成本受限干扰模式的困难。
• 基于干扰成本对边进行分层分解的新型动态规划框架，使得能够构建具有有界成本和高 MST 权重的可行干扰集合。
• 该方法依赖于一个结构引理，表明通过仅考虑层次结构中的常数个层级，即可找到近似最优的干扰模式。
• 通过利用 MST 与 TSP 权重之间的 2-近似关系，该结果可推出度量 TSP 干扰问题的 O(1)-近似，具体为 28-近似。
• 该工作解决了网络干扰领域长期悬而未决的开放问题，填补了最佳已知近似比与常数因子近似可能性之间的空白。