[论文解读] An O(n2) time algorithm for alternating Büchi games

Krishnendu Chatterjee, Monika Henzinger|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2011

Formal Methods in Verification参考文献 29被引用 10

一句话总结

本文提出了一种 O(n²) 时间复杂度的算法来求解交替 Büchi 游戏，打破了长期存在的 eO(n·m) 时间复杂度瓶颈。该方法采用了一种新颖的分层图分解技术与动态进展度量维护机制，实现了首个支持边插入/删除操作的动态算法，每次操作的摊还时间复杂度为 O(n)，并改进了相关问题（如 MDP 和终态组件分解）的时间复杂度界限。

ABSTRACT

Computing the winning set for Büchi objectives in alternating games on graphs is a central problem in computer aided verification with a large number of applications. The long standing best known upper bound for solving the problem is ̃O(n·m), where n is the number of vertices and m is the number of edges in the graph. We are the first to break the ̃O(n·m) boundary by presenting a new technique that reduces the running time to O(n2). This bound also leads to O(n2) time algorithms for computing the set of almost-sure winning vertices for Büchi objectives (1) in alternating games with probabilistic transitions (improving an earlier bound of O(n·m)), (2) in concurrent graph games with constant actions (improving an earlier bound of O(n3)), and (3) in Markov decision processes (improving for m > n4/3 an earlier bound of O(min(m1.5, m·n2/3)). We also show that the same technique can be used to compute the maximal end-component decomposition of a graph in time O(n2), which is an improvement over earlier bounds for m > n4/3. Finally, we show how to maintain the winning set for Büchi objectives in alternating games under a sequence of edge insertions or a sequence of edge deletions in O(n) amortized time per operation. This is the first dynamic algorithm for this problem.

研究动机与目标

• 打破求解交替 Büchi 游戏这一形式化验证核心问题的 eO(n·m) 时间复杂度瓶颈。
• 设计首个在交替 Büchi 游戏中维护获胜集合的动态算法，支持边的插入或删除操作。
• 改进相关问题的时间复杂度界限：马尔可夫决策过程、具有常数动作的并发游戏，以及具有 Büchi 目标的概率游戏。
• 为最大终态组件分解问题提供 O(n²) 时间复杂度的算法，优于先前在 m > n⁴/³ 时的 O(min(m¹·⁵, m·n²/³)) 时间复杂度界限。
• 统一并扩展动态图算法技术，应用于具有 Büchi 目标的交替游戏场景。

提出的方法

• 提出一种分层图分解技术，以高效识别并移除交替 Büchi 游戏中的非获胜顶点。
• 采用一种动态进展度量数据结构，以在边更新下维护 coLift 算子的最小不动点。
• 使用基于队列的增量算法，在边插入后传播进展度量的变化，每次操作的摊还时间复杂度为 O(n)。
• 为 V₂（玩家 2）中的顶点维护专门的列表，以跟踪具有相等或大一的进展度量的邻居，从而实现高效的更新。
• 将 Even-Shiloach 风格的动态可达性技术应用于进展度量框架，将其推广至交替游戏场景。
• 通过从零开始的不动点迭代计算初始进展度量，使用与达到最小不动点相似的增量过程。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过新型算法技术打破交替 Büchi 游戏的 O(n·m) 时间复杂度？
• RQ2 能否设计一种动态算法，在交替 Büchi 游戏中支持边的插入或删除操作，并实现每次更新的亚线性摊还时间复杂度？
• RQ3 所提出的方法能否推广以改进相关问题（如 MDP、并发游戏和终态组件分解）的时间复杂度界限？
• RQ4 与经典的重复可达性计算相比，该分层分解技术在效率和可扩展性方面表现如何？
• RQ5 在游戏图中求解具有 Büchi 目标的进展度量的动态机制，其理论与实际影响是什么？

主要发现

• 本文首次提出 O(n²) 时间复杂度的算法求解交替 Büchi 游戏，打破了所有 n 和 m 下的 eO(n·m) 时间复杂度瓶颈。
• 该算法在每次边插入或删除操作中实现 O(n) 摊还时间复杂度，是首个针对此问题的动态算法。
• 最大终态组件分解问题在 O(n²) 时间内求解，优于先前在 m > n⁴/³ 时的 O(min(m¹·⁵, m·n²/³)) 时间复杂度界限。
• 在具有 Büchi 目标的马尔可夫决策过程中，几乎必然获胜顶点集合的计算时间复杂度为 O(n²)，优于先前在 m > n⁴/³ 时的 O(min(m¹·⁵, m·n²/³)) 时间复杂度界限。
• 在具有常数动作和 Büchi 目标的并发游戏中，几乎必然获胜顶点集合的计算时间复杂度为 O(n²)，优于先前的 O(n³) 最坏情况时间复杂度界限。
• 针对具有 Büchi 目标的简单随机游戏的算法运行时间复杂度为 O(n²)，通过将此类游戏线性约化为交替 Büchi 游戏，优于先前的 eO(n·m) 时间复杂度界限。