[论文解读] An obstruction to asymptotic semistability and approximate critical metrics

Toshiki Mabuchi|ArXiv.org|Apr 10, 2004

Geometry and complex manifolds参考文献 9被引用 11

一句话总结

本文識別出一個上同調障礙——即在自守群的极大环面的李代數上某個曲率泛函的消失——這是當一個正維數代數群作用於全純時，極化流形 $(M,L)$ 為漸近 Chow-半穩定的必要條件。推廣唐納森對近似臨界度量的構造，作者證明在該障礙條件下，漸近 Chow-穩定性成立，且 $c_1(L)_{\mathbb{R}}$ 中的常數標量曲率凱勒度量在群作用下唯一。

ABSTRACT

In this paper, we consider an obstruction to asymptotic Chow-semistability of a polarized Kaehler algebraic manifold. Even when a linear algebraic group of positive dimension acts nontrivially and holomorphically on a polarized Kaehler algebraic manifold with constant scalar curvature, the vanishing of the obstruction allows us to generalize Donaldson's construction of approximate solutions for equations of balanced metrics.

研究动机与目标

• 識別極化流形 $(M,L)$ 在具有非平凡全純群作用時，漸近 Chow-半穩定性的障礙。
• 將唐納森對臨界度量方程近似解的構造推廣至自守群具有正維數的情形。
• 建立漸近 Chow-穩定性成立的條件，特別是在 $L$ 的高張量冪下同倫作用穩定的情形。
• 證明在極化類 $c_1(L)_{\mathbb{R}}$ 中，常數標量曲率凱勒度量在群作用下唯一。
• 證明當自守群為平凡時，漸近 Chow-穩定性意味著希爾伯特集中的穩定性。

提出的方法

• 在自守群的極大環面 $Z$ 的李代數 $\mathfrak{z}$ 上引入一個曲率泛函 $\mathcal{C}\{c_1^{n+1};L^m\}$，透過曲率形式的加權跡的積分定義。
• 利用等變上同調與 $L^m$ 上的 $Z_m$-不變赫米特度量定義泛函 $\mathcal{C}\{c_1^{n+1};L^m\}$，其與度量 $h$ 的選擇無關。
• 證明若該泛函在序列 $m(k)\to\infty$ 時消失，則同倫作用 $\rho_m$ 對大 $m$ 穩定，從而將障礙與群作用提升的穩定性聯繫起來。
• 對凱勒度量 $\omega(\ell)$ 和 $L$ 上的度量 $h(\ell)$ 應用形式冪級數展開（變數為 $q$），利用 Bergman 度量的漸近展開。
• 利用條件 $\rho_{m(k)} = \rho_{m(k_0)}$ 對所有 $k \geq k_0$ 成立，證明對大 $m$，泛函 $\mathcal{C}\{c_1^{n+1};L^m\}$ 消失，進而實現近似解的構造。
• 在 $q$-進展開中使用遞推論證，證明度量展開中誤差項 $v_\ell$ 必須消失，從而證明近似解序列的收斂性。

实验结果

研究问题

• RQ1 對於具有正維數全純群作用的極化流形 $(M,L)$，其漸近 Chow-半穩定性必須消失的障礙是什麼？
• RQ2 唐納森對近似臨界度量的構造能否推廣至 $\operatorname{Aut}^0(M)$ 具有正維數的情形？
• RQ3 在何種條件下，同倫作用 $\rho_m$ 的穩定性可推出漸近 Chow-穩定性？
• RQ4 曲率泛函 $\mathcal{C}\{c_1^{n+1};L^m\}$ 的消失與常數標量曲率凱勒度量的存在性有何關係？
• RQ5 $Z_m$-作用在 $L^m$ 上在提升全純向量場與定義障礙中扮演何種角色？

主要发现

• 若 $(M,L)$ 為漸近 Chow-半穩定，則對所有足夠大的 $m(k)$，泛函 $\mathcal{C}\{c_1^{n+1};L^m\}$ 消失，提供必要障礙。
• 若障礙消失，則同倫作用 $\rho_m$ 對大 $m$ 穩定，即 $\rho_{m(k)} = \rho_{m(k_0)}$ 對所有 $k \geq k_0$ 成立。
• 在穩定性條件下，近似臨界度量的構造推廣了唐納森的方法至非平凡群作用的情形。
• 若對大 $m$，$\mathcal{C}\{c_1^{n+1};L^m\}$ 消失，則度量的 $q$-進展開中誤差項 $v_\ell$ 必須消失，確保收斂性。
• 若同倫作用穩定且 $c_1(L)_{\mathbb{R}}$ 允許常數標量曲率凱勒度量，則 $(M,L)$ 滿足漸近 Chow-穩定性。
• 在穩定性條件與障礙消失下，$c_1(L)_{\mathbb{R}}$ 中常數標量曲率凱勒度量在群 $G$ 作用下唯一。