[论文解读] An obstruction to small time local null controllability for a viscous Burgers' equation

Frédéric Marbach|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2015

Stability and Controllability of Differential Equations被引用 11

一句话总结

本文為[0,1]上帶有時變控制u(t)的黏性Burgers方程建立了小時間局部零可控性的一個二階障礙。透過系統的二次展開，作者識別出控制的弱H⁻⁵/⁴範數所涉及的結構性障礙，證明即使訊號傳播速度無限快，也無法以任意小時間將系統控制到零，且小控制無法實現此目標。

ABSTRACT

In this work, we are interested in the small time local null controllability for the viscous Burgers' equation $y_t - y_{xx} + y y_x = u(t)$ on the line segment $[0,1]$, with null boundary conditions. The second-hand side is a scalar control playing a role similar to that of a pressure. In this setting, the classical Lie bracket necessary condition $[f_1,[f_1,f_0]]$ introduced by Sussmann fails to conclude. However, using a quadratic expansion of our system, we exhibit a second order obstruction to small time local null controllability. This obstruction holds although the information propagation speed is infinite for the Burgers equation. Our obstruction involves the weak $H^{-5/4}$ norm of the control $u$. The proof requires the careful derivation of an integral kernel operator and the estimation of residues by means of weakly singular integral operator estimates.

研究动机与目标

• 研究帶有時變控制u(t)的黏性Burgers方程是否具有小時間局部零可控性。
• 確定Burgers方程的無限傳播速度是否能彌補非線性影響，從而實現小時間可控性。
• 識別並描述一個古典李括號條件未捕捉到的二階可控性障礙。
• 確立控制的弱H⁻⁵/⁴範數是障礙機制中的關鍵因素。

提出的方法

• 對零平衡點附近的非線性系統進行二次展開，以揭示二階項。
• 利用仔細的漸近分析，從二次近似中推導出積分核運算子。
• 透過弱奇異積分運算子估計，估算餘項與奇異積分。
• 使用Triebel-Lizorkin空間中的分子與原子分解來控制運算子範數。
• 將定義在[0,1]×[0,1]上的局部核擴展至R×R，同時保持弱奇異性與Hölder連續性。
• 應用類型(s,δ)的弱奇異積分運算子理論，以界定H⁻⁵/⁴中的控制影響。

实验结果

研究问题

• RQ1 黏性Burgers方程在僅使用時變控制u(t)的情況下是否具有小時間局部零可控性？
• RQ2 古典李括號條件[f₁,[f₁,f₀]]是否足以在此設定下得出可控性結論？
• RQ3 控制的弱H⁻⁵/⁴範數在阻礙小時間可控性中扮演何種角色？
• RQ4 是否存在一個二階障礙，即使訊號傳播速度無限快，也阻止零可控性？
• RQ5 能否透過Triebel-Lizorkin等函數空間中的積分核估計來量化控制的影響？

主要发现

• 系統不具備小時間局部零可控性，證明方法為構造初始資料在H¹₀中任意小，但無法被任何L²範數小的L²控制驅動至零。
• 存在一個古典李括號條件[f₁,[f₁,f₀]]未檢測到的二階障礙。
• 該障礙由控制的弱H⁻⁵/⁴範數所表徵，可控性可能成立的前提是此範數必須遠離零。
• 證明依賴於構造一個積分核運算子，其作用透過Triebel-Lizorkin空間中的分子分解進行估計。
• 作者將定義在[0,1]×[0,1]上的局部核擴展至R×R，同時保持弱奇異性與Hölder連續性，進而實現全局運算子範數估計。
• 結果顯示，即使訊號傳播速度無限快，非線性與二階效應仍可能阻止小時間可控性。